- red11 a écrit:
- soit D une droite passant par l'origine. determiner puis tracer les courbes telles que O soit à egale distance entre les points de la courbe et l'intersection de D et la normale à la courbe au même point
BJR à Toutes et Tous !!
Merci à toi red11 d’avoir posé cet exo et
Merci aussi à rockabdel pour son invitation !!!
Je vous propose ma vision du problème . Ce problème posé dans une optique Géométrique conduit à un autre problème d’Analyse et de manière précise à la résolution d’une équation différentielle .
J’avais commencé à chercher cet exo en utilisant les Coordonnées Cartésiennes et je me suis rendu compte que cela conduisait à des calculs fastidieux !!
On va utiliser les Coordonnées Polaires qui sont mieux indiquées pour répondre au problème ; le lecteur est supposé familiarisé ( c’est au Programme de 1FAC ou SUP ) avec la question , sinon un petit tour ICI :
http://c.caignaert.free.fr/chapitre15/node3.html#SECTION00033000000000000000
Dans un repère orthonormé et direct {O ; i, j } on considère une courbe C en polaires :
Le rayon OM est de longueur positive notée r ( à la place de Rhô ) et l’angle polaire ( Ox ; OM ) est noté t ( à la place de Thêta ) t décrit un intervalle ouvert non vide I de IR .
On suppose que le point M(r,t) est bien régulier !!!
On sait que l’angle formé par OM et le vecteur tangent T à C en ce point vaut V et Tan(V)={r/r’} avec r’=dr/dt
On se donne maintenant une droite ( D )( passant par O ) d’équation polaire t=to to fixé .
Notons H le point d’intersection ( quand il existe ) de ( D ) avec la normale à C au point M .
L’énoncé impose que le triangle HOM est ISOCELE .
Je suis désolé de ne pas pouvoir poster une figure ( mais vous pouvez en faire une pour suivre ma Soluce ) ;
L’angle au sommet HOM vaut to-t
Donc l’angle OMH devra être égal à a avec la relation
2.a+(to-t)=Pi
Par ailleurs , on a aussi a+(Pi/2)+V=Pi
D’où 2.V=to-t donc V=(1/2).(to-t)
On en déduit Tan(V)={r/r’}=Tan{(1/2).(to-t)}
Qui s’écrit aussi {r’/r}=1/{Tan{(1/2).(to-t)}}
C’est une Equation Différentielle Linéaire d’Ordre Un à Variables Séparables et Sans Second Membre que l'on écrit :
{dr/r}=dt/Tan{(1/2).(to-t)} et qui s'intègre sans problème majeur !!!
Les courbes solutions sont de la forme :
r(t)=A /{sin((to-t)/2)}^2 avec A constante réelle >=0.
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