Conditions sur les coeffients d'un polynôme.

Soit p(x) = ax² + bx + c où a, b et c sont des nombres réels. Soit q(x) = p(p(x)).
Trouver des conditions nécessaires et suffisantes sur a, b et c pour que le nombre de racines de q soit égal à : zéro, un, deux, trois et quatre.

si b²-4ac<0, alors q a 0 racine
si b²-4ac=0, p admet une racine double r=-b/2a. ( a non nul)
q(x)=0 <==> p(x)=r=a(x-r)²
...
c'est fastidieux
à suivre

Bonjour mathman et abdelbaki;
Je suppose a#0 , p(x)=a(x-r)(x-s)
q(x)=p(p(x))=a(p(x)-r)(p(x)-s)=a(ax²+bx+c-r)(ax²+bx+c-s)=ap1(x)p2(x)
(*)Si r et s non réelles (Delta=b²-4ac<0) q n'a pas de racines réelles.
(*)Si r=s=-b/2a (Delta=b²-4ac=0) on a q(x)=a(p1(x))² et Delta1=Delta2=-2b donc ,
-si b>0 q n'a pas de racines réelles.
-si b=0 (c=0,r=s=0) q(x)=a(ax²)² q a une racine 0 (d'ordre 4).
-si b<0 q a deux racines réelles distinctes (-b-Racine(-2b))/2a et (-b+Racine(-2b))/2a
(*)Si r et s réelles distinctes (r<s) (Delta=b²-4ac>0) on a
Delta1=Delta+4ar=Delta-2Racine(Delta)-2b
Delta2=Delta+4as=Delta+2Racine(Delta)-2b
(remarquer que Delta1<Delta2)
-Si Delta1>0 q a 4 racines réelles distinctes.
-Si Delta1=0 q a 3 racines réelles distinctes (dont une est double).
-Si Delta2<0 q n'a pas de racines réelles.
-Si Delta2=0 q a une racine réelle double.
-Si Delta1<0<Delta2 q a deux racines réelles distinctes. (sauf erreur)