Polynômes unitaires vérifiant deux conditions.

Trouver tous les polynômes P unitaires à coefficients entiers tels que :
(i) P(x) = P(1-x);
(ii) toutes les racines complexes de P se trouvent dans |z| < 2^(1/5).

mathman a écrit:

Trouver tous les polynômes P unitaires à coefficients entiers tels que :
(i) P(x) = P(1-x);
(ii) toutes les racines complexes de P se trouvent dans |z| < 2^(1/5).

Bonjour Mathman.

Je considère bien sûr que "coefficients entiers" veut dire "coefficients dans Z", et pas dans N, sinon il n'y a pas de solution non constante (car la somme des racines est égale à la moitié du degré et est donc positive pour toute solution non constante).

A titre de premières réflexions :

1) l'ensemble des solutions est stable par multiplication
2) le degré de toute solution est pair (P(1-x) doit être unitaire)
3) Bien sûr P(x)=1 est une solution.
4) Pour tout a de Z, P(x)=x^2 - x - a(a-1) est une solution
5) P(x) = x^2 - x + 1 est une solution

Et donc bien sûr toutes combinaisons. Par exemple (x^2 - x- 6)^3(x^2 - x + 1)^4

A poursuivre ....

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Patrick

pco a écrit:

A poursuivre ....

En fait, toutes les solutions de degré 2 sont de la forme
P(x)=x^2 - x - n avec n entier relatif >= -1

A poursuivre encore ...

--
Patrick

Salut Pco,

pco a écrit:

4) Pour tout a de Z, P(x)=x^2 - x - a(a-1) est une solution

Eh bien...
Ceci se factorise en (x-n)(x+1-n); j'ai demandé que toutes les racines aient des valeurs absolues < 2^(1/5) < 2...

pco a écrit:

En fait, toutes les solutions de degré 2 sont de la forme
P(x)=x^2 - x - n avec n entier relatif >= -1

Seulement pour n = 0 et n = -1...
Sinon, la plus grande racine (réelle) est trop grande.
Pour n = 1, par exemple, c'est le nombre d'or; il est clairement plus grand que la quantité demandée.
Mais, oui, x²-x et x²-x+1 sont les seules solutions de degré 2.

mathman a écrit:

j'ai demandé que toutes les racines aient des valeurs absolues < 2^(1/5) < 2...

Euhh, sauf erreur, cette contrainte n'est demandée que pour le module des racines complexes. j'ai considéré qu'il n'y avait pas de contraintes sur les racines réelles.

--
Patrick

Un nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.

Mais, tout comme le coup des entiers relatifs, j'aurais peut-être du préciser ceci. (ou bien simplement écrire "racines" )

mathman a écrit:

Un nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle.

Oui, bien sûr, tu as raison.
Mais avoue qu'il est fréquent de distinguer pour un polynôme ses racines réelles de ses racines complexes, même si c'est un abus de langage ... .

Ok donc, that's clear now

--
Patrick

Oui, oui, j'avoue

Alright then!

Tu as deviné la réponse?

mathman a écrit:

Tu as deviné la réponse?

Dois-je la dire? (Ca ne rendrait pas le problème plus facile, donc ne t'en fais pas pour ça )