question importante

pourkoi un systeme dans IRn :
_admet une seule solution

_n'admet aucune solution

_admet une infinité de solution

et n'admet pas un nombre fini de solution ( 2 ou 3 ... par ex)

Prend par exemple deux solution X=(x_1,...,x_n) et Y=(y_1,...,y_n). Fait la différence des deux et tu as le vecteur non nul

V=(x_1-y_1,...,x_n-y_n)

Maintenant prend un nombre quelconque, disons t, et remarque que X+tV est encore une solution. Comme il y a une infinité de t, il y a une infinité de solutions.

Voilou!!

www.mathsup.ouvaton.org

V=(x_1-y_1,...,x_n-y_n)
vecteur non nul???

X+tV n'est pas tjrs une solution ????

Je reprend, supposons que ton système admet au moins deux solutions X et Y donc forcément X-Y est non nul. De plus

X+t(X-Y)

sont des solutions pour tout t (donc il y a une infinité de solutions). En effet le calcul est simple. Si tu écrit ton système sous forme matriciel (j'espère que tu connais...), tu as

AX=b et AY=b

Donc

A(X-Y)=0

et donc

A(X+t(X-Y))=AX+tA(X-Y)=AX+0=b

d'où A(X+t(X-Y))=b donc X+t(X-Y) est solution de ton système.

Voilou!!

http://www.mathsup.ouvaton.org