Exercice d'applications dur

Bonjour, mabrouk l3id

Soit f : E---->E une application telle que : pour tout x appartient à E, il existe n appartient à N* tel que fn(x)=x avec : fn=fof...f (n fois)
Montrer que f est injective

bjr aiid saiid

soient x, y deux éléments de E

Si f(x) = f(y) montrons que : x=y?

f(x) = f(y) ===> pour tout k entier >= 1

f(k-1)of(x) = f(k-1)of(y) ====> fk(x)=fk(y)

notons n l'entier tel que : fn(x)=x

et p l'entier tel que : fp(y)=y

fn(x)=fn(y) =====> x=fn(y)

fp(x)=fp(y) =====> fp(x)=y


calculons alors

fn+p(x) =fp(fn(x))= fp(x)=y

fn+p(y) =fn(fp(y))=fn(y)=x

comme : fn+p(x)=fn+p(y) ======> x=y

Merci pour ta réponse,
Peux-tu mieux détailler le passage avec p(x) et p(y)?

Merci c'est bon j'ai compris :
Finalement on considère x et y de E tel que f(x) = f(y)
Pour tout k appartient à N* on a :
fk(x) = f(x)of(x)of(x)...f(x) (k fois)
=f(y)of(y)of(y)...f(y) (k fois)
=fk(y)
puisque : pour tout x appartient à E, il existe n appartient à N* tel que fn(x)=x , soit p de N* tel que : fp(y) =y et i de N* tel que fi(x)=x
on a :
fi(fp(x))=fi(y)=fi(x)=x
fp(fi(x))=fp(x)=fp(y)=y
et puisque : fi(fp(x))=fp(fi(x))=fpi(x)
on déduit que x=y
Donc f est injective =)

c'est mal écrit (quand même!!!!!)

f(n+p) (x) et f(n+p) (y)

je pense que : fp(fn(x)) = f(np) (x) et non pas f(n+p) (x)

f(n+p) = fofofof.........of ( n+p)fois

fn(fp(x)= fn( fofof.....of)(x) =( fofof........of)o(fofof.....of)(x)

n fois puis p fois donc (n+p) fois

revoir la définition de la composition

fn(fp(x)= fn( fofof.....of)(x) #( fofof........of)o(fofof.....of)(x)
car : fn(x)=f(x)of(x)of(x)o...f(x) donc :
fn( fofof.....of)(x) = fofof.....of)(x) o fofof.....of)(x) o fofof.....of)(x) ... fofof.....of)(x)
ça ve dire p fois n donc np

alors là oh lala

que signifie f(x)of(x)

je te conseille de bien revoir la définition de fog

pardon j'ai pas fait attention :
fn(x)=fofofo...f(x) / f(x)of(x)of(x)o...f(x) est une écriture fausse.
parce que quand j'ai considéré que : fn(x)=f(x)of(x)of(x)o...f(x) et que j'ai pris x=fp(x) j'ai trouvé un résultat faux.
donc : fn(fp(x))=fofofo...f(fp(x))=fofofo...f (nfois) o fofof...f(x) (pfois)
=fn o fp(x) (comme quoi maintenant c'est juste)
Sinon c'est logique : fn(fp(x)) = fn o fp(x) = fofofo...f (nfois) o fofof...f(x) (pfois) = fofofof...of(x) (n+p fois)
=f(n+p) (x)