exercice

soit la fonction f définie par:
1- déterminer D le domaine de définition de f et montrer qu'elle est continue sur D.
2- montrer que : [img]latex.codecogs.com/gif.latex?\exists&space;(\alpha&space;;\beta&space;)\in&space;\mathbb{R}^2;\forall&space;x\in[\frac{1}{2};\frac{3}{2}]\\2\alpha&space;<&space;\sqrt{\frac{2x}{x&plus;1}}&plus;\sqrt{2x-x^2}<&space;2\beta[/img]
3- montrer que f est une bijection de [0;1] vers [0;1].
4- soit [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?[a;b]\subset&space;[0;1][/img], montrer que:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\exists&space;c\in&space;[a;b]f(c)=\frac{a-c}{a-2b&plus;c}[/img]

aidez moi svp en 3 et 4.

3) Pour montrer qu'une fonction est bijective, il faut montrer qu'elle est continue (surjection) et strictement monotone (injection). Tu dois démontrer ces deux points.

4) Tu penses aux théorème des valeurs intermédiair. (TVI).

Je t'ai donné juste l'idée et tu continues..

3)
On a: f une bijection d'une intervalle I à l'intervalle f(I) <==> f est strictement croissante(ou décroissante) , f est continue sur cette intervalle.
Après calcul de f'(x) pour tous x de [0,1], on trouve que l'expression est strictement positive, donc f est strictement croissante.
De plus, f est continue sur [0,1], car [0,1] est inclu dans Df=[0,2].
Et on a: f(0)=0 et: f(1)=1.
Donc f est une bijection de [0,1] à [0,1].

4)
De plus, la fonction f est une bijection de: [0,1] à: [0,1].
On a:
f(c) = (a-c)/(a-2b c) <=> (a-2b c).f(c) c-a = 0
On pose:
g(x) = (a-2b x).f(x) x-a
Puisque f est continue sur [0,1], alors g est continue également sur [0,1].
Et on a: [a,b] inclu dans [0,1].
D'ou: g est continue sur [a,b].
On calcule maintenant:
g(a) = 2(a-b).f(a)
g(b) = (a-b).(f(b)-1)
a[b] a-b<0 ==> 2(a-b).f(a)<0 ==> g(a)<0 , (car on a f(a)>0)
f(b)<1 ==> f(b)-1<0 ==> (a-b)(f(b)-1)>0 ==> g(b) > 0.
D'ou: g(a).g(b) <0
Donc, d'après le TVI, il existe au moins un élément c de [a,b], tel que: g(c)=0.
Ou encore: f(c) = (a-c)/(a-2b c).

merci tous les deux.