Exox complexes

Pourriez vous m'aider à resoudre cet exo svp

soit (E) : z(au cube) - (4+i) z² + (7+i) z - 4=0

où z designe un nombre complexe

Partie A
1- Montrer que (E) admet une unique solution réelle notée z1.
2- Determiner les nombres complexes a et b tels que pour tout nombre complexe z , on ait :
z(au cube) - (4+i) z² + (7+i) z - 4= (z-z1)(z-2-2i)(az+b)
3- Résoudre (E)

Partie B

Dans le plan muni d'un repere orthonormal direct (O,vecteur u , vecteur v) on considere les 3 points A B C d'affixes respectives 1 , 2+2i, et 1-i

1- Representer A, B , C
2- Determiner le modul et un argument de 2+2i/1-i. En déduire la nature du triangle OBC
3-QUe représente la droite (OA) , pour le triangle OBC ? justifiez votre affirmation.
4-Soit D l'image de O par la rotation d'angle -Pi/2 et de centre C. Determiner l'affixe de D.
5- Quelle est la nature de OCDB ?

merci d'avance

le cojugué de z sera noté z*

Partie A

1) z=z* et z^3 - (4+i) z² + (7+i) z - 4=0
==> z^3 - (4-i) z² + (7-i) z - 4=0
==> z²-z=0 ==> z1=1 (z=0 n'est pas solution)

Partie A :
comme montré avant on a z=1 est une solution. donc o peut factoriser p(z) par (z-1) donc :

p(z)=(z^3-1)-(4+i)z²+(4+i)z+3z-3

le reste est facile on trouve les solutions S={1,2+2i,1-i}

Partie B:

2) (2+2i)/(1-i)=2i donc arg((2+2i)/(1-i))=pi/2 [2pi]

et |(2+2i)/(1-i)|=2

donc OBC est un triangle rectangle en O.

3) la droite (OA) est la bissectrice interieur de de l angle BOC.
justification :
soit a,b,c les affices de A,B et C

on a : arg(b/a)=arg(2+2i)=pi/4[2pi]

et arg(c/a)=arg(1-i)=pi/4[2pi]

donc l angle AOC = l angle AOB = pi/4 d ou la conclusion .

4) D est l image de O par la rotation de centre C(c) et d angle -pi/2
(je crois que c pi/2 sauf erreur suite à la 5 ieme question)

donc on doit avoir CO=CD et arg((c-d)/c)=-pi/2 [2pi]

donc |c|=|c-d|==>|(c-d)/c|=1 et arg((c-d)/c)=-pi/2[2pi]

donc (c-d)/c=e^{-ipi/2} donc d=c(1-e^{-ipi/2})=(1-i)(1+i)=2