Complexes

Exo 1
Simplifiez l'expression suivante :


Exo 2
On pose :


Montrer que :

Ensuite Montrer que :

Enjoy

Up... =)

pour le premier :
on calcule P1 , P2 ,P3
puis on suppose une formule pour Pn ensuite on la demontre par recurrence

Non! Je ne pense pas que ça mène a quelque chose parce que Pn nest pas construit de tel sorte qu'o puisse se prononcer à lavance du resultat. Puisque ce resultat meme sera issue de plusieurs simplifications ...

Othmaann a écrit:

Exo 1
Simplifiez l'expression suivante :


Exo 2 .....

BJR Othmane !!
Merci pour ton MP , lorsqu'on me sollicite pour de l'aide , je n'hésite jamais quand je peux le faire ...
Voilà pour cet exo un peu difficile :
Pour k entier et 0<=k<=n , on posera Ak=1+k.(k+1)+ i , Ck=1+k.(k+1)- i son conjugué puis Bk=Ak/Ck
On aura alors Pn=B0.B1.B2 ...... Bn pour tout entier n>=1
Remarquons que :
1) Bk est de module 1
2) Ak est un nombre complexe de partie imaginaire 1 et de partie réelle 1+k.(k+1)>=1 ; de ce fait son argument est un angle compris entre 0 et Pi/4
que l'on notera PHI(k) et on a exactement PHI(k)=ARCTAN{1/(1+k.(k+1))}=ARCTAN{1/(1+k+k^2)}
3) Il en résultera que Bk est de module 1 et d'argument 2.PHI(k) c'est à dire Bk=exp{2.i.PHI(k)}

Par conséquent Pn=exp{2.i.PHI(0)}.exp{2.i.PHI(1)} ..... exp{2.i.PHI(n)}=exp{2.i(PHI(0)+PHI(1)+ .... +PHI(n))}
Maintenant , il faut se rappeler que :
ARCTAN(a)-ARCTAN(b)=ARCTAN{(a-b)/(1+ab)} sous certaines conditions ...
Si on choisit a=k+1 et b=k alors ARCTAN(k+1)-ARCTAN(k)=ARCTAN{1/(1+k+k^2)}
et par suite , grâce à une SOMME TELESCOPIQUE , on aura :
PHI(0)+PHI(1)+ .... +PHI(n))=ARCTAN(n+1)
et donc Pn=exp{2.i.ARCTAN(n+1)}

LHASSANE

Re-BJR Othmane !!

Pour le 2) , tu remarqueras que w est une racine 7ème de l'unité
donc w^7=1 , en outre tu vas utiliser la FACTORISATION :
X^7-1=(X-1).(X^6+X^5+X^4+.........+X^2+X+1)
et tu y remplaceras X par w en tenant compte que w-1<>0 .....
et le Tour sera Joué !!!

Quant au dernier , ce sont des Calculs Bêtes et Méchants et il faut utiliser la Force Brute .... les calculs à fond la caisse en tenant compte de ce que w^7=1 .

LHASSANE

Bonjour à vous,
déja je voudrais vous remercier pour vos efforts !!!
Ensuite si cela ne vous derange pas , je vous quelques explications sur ce qui est en gras :

Oeil_de_Lynx a écrit:

...
2) Ak est un nombre complexe de partie imaginaire 1 et de partie réelle 1+k.(k+1)>=1 ; de ce fait son argument est un angle compris entre 0 et Pi/4
que l'on notera PHI(k) et on a exactement PHI(k)=ARCTAN{1/(1+k.(k+1))}=ARCTAN{1/(1+k+k^2)}
...
LHASSANE

Pourquoi entre 0 et Pi/4 ca ne serait pas Pi/2 ? EDIT:c'est bon je vois pourquoi.
Pour PHI(k) , l'avez vous eu de la façon suivante ?:

Et pour la somme telescopique , n'avez ous pas oublié le 1er terme ??? il ne devrait pas yavoir Artan(n+1)-Pi/4 ?
Sinon , bien vu !!! je ne pense pas que j'aurais pu le résoudre
MERCI[u]

BJR Othmane !!

De rien ......
Celà dit , ona TAN(PHI(k))=Im(Ak)/re(Ak)=1/{1+k+k^2}
Or 1+k+k^2>=1 donc 0<TAN(PHI(k))<=1
Dou 0<PHI(k)<=Pi/4.

pour la SOMME TELESCOPIQUE ...
PHI(0)=ARCTAN(1)-ARCTAN(0)
PHI(1)=ARCTAN(2)-ARCTAN(1)
....
....
PHI(n)=ARCTAN(n+1)-ARCTAN(n)
Tu sommes et tu obtiendras :
PHI(0)+.....+PHI(n)=ARCTAN(n+1)-ARCTAN(0)
Or ARCTAN(0)=0 d'ou ......

Je ne pense pas avoir oublié quelquechose ... Tu peux vérifier dans la formule trouvée :
Pn=exp{2.i.ARCTAN(n+1)}
que pour n=0 , elle donne Po=exp(2.i.ARCTAN(1)}=exp(i.Pi/2)=i
ce qui correspond bien à {1+i}/{1-i}

LHASSANE

Exact !!! autant pour moi =)
Merci encor une fois.

Hors sujet : http://omnilogie.fr/O/Au_temps_pour_moi_-_autant_pour_moi

LOL :d , au temps pour moi alors !! ^^
c'est une expression qu'on utilise généralement lors de la parole ... alors difficile de faire une distinction surtout que "autant pour moi" parait plus logique puisque comme le dit ton lien : c'est autant d'erreurs pour ma part c'est l'effet rechérché donc ... ! Mais merci pour l'info j'etais loin de m'en douter =)