entiers en progression arithmétique et carré parfait (bis)

Trouver tous les entiers positifs n,m,p,q en progression arithmétique tels que: soit un carré parfait
voir aussi
entiers en progression arithmétique et carré parfait

Il y a un bon paquet de solutions.

J'entends de là pco me dire qu'il faut les caractériser.
Mais tu te souviens du terme pour x²+y²=z^4? C'est dans le même genre.
Ok un peu moins laid.

En fait j'ai réduit le problème à (2x)²+5y² = z².
Et ça un paquet de solutions; une d'entre elles étant x=y=1, z=3.
Maintenant sécantes -> un bon paquet (et toutes).

Salut Mathman

mathman a écrit:

J'entends de là pco me dire qu'il faut les caractériser.

Yesss

Allez :
(v^2 + 6uv - 5u^2)^2 + (-v^2 + 6uv - 3u^2)^2 + (-3v^2 + 6uv - u^2)^2 + (-5v^2 + 6uv + u^2)^2 = 4(3v^2 - 4uv + 3u^2)^2

Ce qui donne en fait 4 familles de solutions :

n^2 + (n+a)^2 + (n+2a)^2 + (n+3a)^2 = b^2

u et v premiers entre eux, u+v impair non divisible par 5
b = 2h*(3(v+u)^2 - 10uv)
a = 2h*(u+v)(u-v)
n = h*( (u+v)(5u+v) - 10u^2)

Exemple : u=5, v=4, h=1 ==> 11^2 + 29^2 + 47^2 + 58^2 = 86^2

u et v premiers entre eux, u+v impair divisible par 5
b = 2h*(3(v+u)^2/5 - 2uv)
a = 2h*(u+v)(u-v)/5
n = h*( (u+v)(5u+v)/5 - 2u^2)

Exemple : u=8, v=7, h=1 ==> 13^2 + 19^2 + 25^2 + 31^2 = 46^2


u et v premiers entre eux, u+v pair non divisible par 5
b = h*(3(v+u)^2 - 10uv)
a = h*(u+v)(u-v)
n = h*( (u+v)(5u+v)/2 - 5u^2)

Exemple : u=9, v=7, h=1 ==> 11^2 + 43^2 + 75^2 + 107^2 = 138^2



u et v premiers entre eux, u+v pair divisible par 5
b = h*(3(v+u)^2/5 - 2uv)
a = h*(u+v)(u-v)/5
n = h*( (u+v)(5u+v)/10 - u^2)

Exemple : u=11, v=9, h=1 ==> 7^2 + 15^2 + 23^2 + 31^2 = 42^2

On trouve bien sûr des valeurs plus faibles si on accepte les nombres négatifs :
u=3, v=2 ==> (-1)^2 + 1^2 + 3^2 + 5^2 = 6^2

--
Patrick