devoir N°1 d'Olympiade du maroc Decembre 2009 (FES)(1er SM)

salut dsl pour le commentaire, je crois qu'il doit etre posté en premiere en tous cas merci pour les olymps.

je l ai poste la car les premieres sont plus chargé que les terminals je vois.hhhhhhh

memath on l a deja fait pas besoin de participer

Exercice 1 :

la fonction est de période -8 ?


Sinon, je ne qualifierai pas l'épreuve de "facile"(jusqu'à l'écrire sur l'image ). Déjà, il faut prendre en compte le stress, le temps(2h30 ?!)...

On a rien passé today !!
ben pr le dernier exo il est ps trivial comme meme :
posons t= g(1)
alors t*g(t+1)=1 (*)
==> g( t*g(t+1))= g(1)
==> g( t*g(t+1))= t
or d'après (*) t= 1/g(t+1)
==> g( t*g(t+1))*g(t+1)=1
or :g(t+1)* g( g(t+1) +1/(t+1))= 1
alors g( t*g(t+1))*g(t+1)=g(t+1)* g( g(t+1) +1/(t+1))
b1 sur g(t+1) #0 ==> : g( t*g(t+1))= g( g(t+1)+1 /(t+1))
g est strictement croissante donc injective alors:
t*g(t+1) = g(t+1) +1/(t+1)
==> g(t+1)= 1-1/(t+1) ( d'après (*))
==> g(t+1)= t/(t+1)
==> 1/t= t/(t+1) ==> t^2=t+1 ==> 2t= 1-sqrt(5) ou 2t=1+sqrt(5)
supposons que: t =1/2 (1+sqrt(5))
puisque : g(t+1)= 1/t < t < g(1) ==> absurde alors t= (1-sqrt(5))/2 C.Q.F.D , j'espere que jé ps commis une erreur
A+
EDIT : je voulais dire : " on a rien passé le vendredi "

mhdi a écrit:

Exercice 1 :

la fonction est de période -8 ?

nn c'est 8 , la période est positive , juste on montre f(x)=-f(x-4) ..

hhh c 8 pour moi je l 'ai faite en 2 min c pas sorcier.

Citation :

puisque : g(t+1)= 1/t < t < g(1) ==> absurde alors t= (1-sqrt(5))/2

en vert oui c vrai mais en rouge je ne pense pas que tu peux avoir cette contaradiction?

pour bien eclaircir les choses tu dois neutrino travailler par l inconnu x des le debut .tu aura une equation comme cela:
(xg(x))^2-(xg(x))-1=0
donc g(x)= 1-sqrt(5)/2x ou g(x)=1+sqrt(5)/2x
choisissant la deuxieme et remlaçons la et posons x=1:
(1+sqrt(5)/2).g((1+sqrt(5)/2)+1)=1
g((3+sqrt(5))/2)=2/(1+sqrt(5))<=> (1+sqrt(5))/(3+sqrt(5))=2/(1+sqrt(5))
CONTRADICTION
donc g(x)= 1-sqrt(5)/2x par suite g(1)== (1-sqrt(5))/2
ma solution est plus general.

exo1 est tres facile. comme un cadeau par rapport aux autres.
V2f(x)=f(x+1)+f(x-1)
V2f(x+1)=f(x+2)+f(x)
et V2f(x-1)=f(x-2)+f(x)
on sommant ces deux on trouve que f(x+2)=-f(x-2)
d'ou -f(x-4)=f(x)=-f(x+4) f(x-4)=f(x+4)
d'ou f(x)=f(x+.

n.naoufal a écrit:

hhh c 8 pour moi je l 'ai faite en 2 min c pas sorcier.

Citation :

puisque : g(t+1)= 1/t < t < g(1) ==> absurde alors t= (1-sqrt(5))/2

en vert oui c vrai mais en rouge je ne pense pas que tu peux avoir cette contaradiction?

pour bien eclaircir les choses tu dois neutrino travailler par l inconnu x des le debut .tu aura une equation comme cela:
(xg(x))^2-(xg(x))-1=0
donc g(x)= 1-sqrt(5)/2x ou g(x)=1+sqrt(5)/2x
choisissant la deuxieme et remlaçons la et posons x=1:
(1+sqrt(5)/2).g((1+sqrt(5)/2)+1)=1
g((3+sqrt(5))/2)=2/(1+sqrt(5))<=> (1+sqrt(5))/(3+sqrt(5))=2/(1+sqrt(5))
CONTRADICTION
donc g(x)= 1-sqrt(5)/2x par suite g(1)== (1-sqrt(5))/2
ma solution est plus general.

par ce que g(1+t)<g(1) contradit le fait que g est strictement croissant

oui desole tu dois ecrire
g(t+1)= 1/t < t = g(1) et non pas g(t+1)= 1/t < t < g(1)
mais c juste je n ai pas pensé a cette contradiction .
ok!

1)
2f(x)=V2.f(x+1)+V2.f(x-1) ==> 2f(x)=( f(x)+f(x+2) )+( f(x-2)+f(x) ) ==> f(x)=f(x+8 ).

2)
Utiliser x_1.x_2 =<1,(x_1+1)(x_2+1) >= 0 et (x_1-1)(x_2-1) >= 0 puis l'autre implication est facile.

3)
On a pas encore vu les suites .

4)
g est injective puis : g(g(x)+1/x).g(x)=1 et g( g(x)+1/x).g( g( g(x)+1/x )+1/( g(x)+1/x ) ) d'ou x=g( g(x)+1/x )+1/(g(x)+1/x) ,remplacer x par 1 puis conclure facilement.

f(x)=-f(x-4)
=>f(x-4)=-f(x-4-4)=-f(x-8)
=>f(x-8)=-f(x-4)
=>f(x)=f(x-8)

?!

si f(x)=f(x+T)
=>f(x)=f(x+kT)/k appartient a Z.
je pense que t'as demontre pour k=-1.

Exercice 2:

Pour la première implication, utiliser (x1+1)(x2+1)>=0, (x1-1)(x2-1)>=0, x1+x2=-b/a et x1x2=c/a

Exercice 4:

On remarque que 1-V5/2 est une des racines du polynôme x²-x-1.

On pose g(1)=A.

A.g(A+1)=1 (*)
et g(A+1).g(g(A+1)+1/(A+1))=1
=>g(g(A+1)+1/(A+1))=A=g(1)
g est strictement croissante donc injective
=>g(A+1)+1/(A+1)=1
=>g(A+1)=A/(A+1)
Or d'après (*) : g(A+1)=1/A
=>A²-A-1=0
=>A=(1-V5)/2 ou (1+V5)/2
si A=(1+V5)/2, on obtient g((3+V5)/2)=2/(1+V5)
(3+V5)/2>1 et g((3+V5)/2)<g(1)
Ce qui est absurde du fait que g est strictement croissante

Donc on a bien g(1)=(1-V5)/2

---

Pour répondre à h99 : voilà, c'est ça. Mais pourquoi dire "nn c'est faux" ? La période doit-elle être tjs positive?

A+

PS : je n'ai lu aucune des solutions exposés ci-dessus.

oui T doit etre >0.

Ce n'est pas l'avis de wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_p%C3%A9riodique

j'ai passé cet olympiade, il est po si facile que ça finalement, les deux derniers exos sont assez corsés à mon avis.
Qlq est arrivé à résoudre le troisième ( celui des suites )?? c'est le seul que j'ai po réussi à faire

bon,weki est une source assez plein de faute,so....

pour 3:
S_n=sum(1->n) a_k/2^k -2 donc 4S_(n+2)=2S_(n+1)+S_n+4
a vous de terminer

le troisieme est equivalent a sum(1-->n)2^(n-k)a_k<2^{n+1}
par recurrence: on montrera que sum(1-->n+1)2^(n-k)a_k<2^{n+2}
on a sum(1-->n)2^(n-k)a_k+1/2 a_{n+1}<2^{n+1}+1/2 a_{n+1}.
il suffit que a_{n+1}< 2^{n+2} cela est juste (cela est facile par réccurence forte ).

cqfd.

hh réccurence forte,c comme si tu veut tuer une mouche avec ...
mais d'abord il faut savoir que c pour 1er sm nn pas pour sup !!!

mm je ne suis pas sur que c'est une technique de sup .
hh pour moi je le connais depuis ma premiere année du lycée .
ta methode je l'ai fait deja mais tu étais rapide dans son écriture alors j ai change de perspective.

Pour le 3eme exercice,

on pose

on a

d'ou


Done.

inspiré par les series?