Trouver le minimum

Les entiers strictement positifs a et b sont tels que les nombres 15a+16b et 16a-15b sont tous les deux des carrés d'entiers strictements positifs.
Trouver la plus petite valeur pouvant être prise par vle minimum de ces deux carrés.

tu peux expliquer 1 peu

Salut,

Je dirais bien 231361 :

a = 14911
b = 481

15*14911 + 16*481 = 231361 = 481^2
16*14911 - 15*481 = 231361 = 481^2

Mais pour le prouver, c'est autre chose.
On a :
E1 : 15a + 16b = x^2
E2 : 16a - 15b = y^2

E1^2 + E2^2 ==> 481(a^2 + b^2) = x^4 + y^4

Donc x^4 + y^4 = 0 [13*37]

Or, ceci implique x^4 + y^4 = 0 [13] et x^4 + y^4 = 0 [37] ou encore, puisque ce sont des nombres premiers, et en supposant x et y non nuls dans Z/13Z et Z/37Z :
(x/y)^4 = -1 [13] et (x/y)^4 = -1 [37].

Or, ceci est impossible (rapide vérification exhaustive) ==> x et y sont divisibles par 13 et 37 tous les deux.
==> x = 481 u et u = 481 v
==> a^2 + b^2 = 481^3(u^2 + v^2)

Le minimum possible pour min(u,v) est 1.
Or, 1^2 + 31^2 = 2*481 ==> 481^2 + (31*481)^2 = 481^3(1^2 + 1^2)

Et, chance, cette condition nécessaire se trouve être suffisante, donnant le résultat en tête de cette réponse.

Le plus litigieux me semble être le fait que la non existence de z non nul tel que z^4 = -1 modulo 13 ou 37 est faite par vérification exhaustive. Il doit y avoir plus naturel.

--
Patrick

Re - bonjour,

pco a écrit:

Il doit y avoir plus naturel.

Bon, une fois qu'on connaît le résultat, il y a plus simple :
E1 : 15a + 16b = x^2
E2 : 16a - 15b = y^2

16E1 - 15E2 ==> E3: 16x^2 - 15y^2 = 13*37*b

En prenant E3 modulo 13, on a :
3x^2 = 2 y^2 [13]
et, si x est non nul modulo 13 et en multipliant par 7 de chaque côté :
8 = (y/x)^2 [13]
Et ceci est impossible : 8 n'est pas résidu quadratique modulo 13 (vérification exhaustive rapide).
==> x = 0 modulo 13 ==> y=0 modulo 13

En prenant E3 modulo 37, on a :
16x^2 = 15y^2 [37]
et, si x est non nul modulo 37 et en multipliant par 5 de chaque côté :
6 = (y/x)^2 [37]
Et ceci est impossible : 6 n'est pas résidu quadratique modulo 37(vérification exhaustive rapide).
==> x = 0 modulo 37 ==> y=0 modulo 37

Et donc x et y sont divisibles par 481 tous les deux, ce qui ramène à la démonstration et au résultat précédents :

a = 14911
b = 481

15*14911 + 16*481 = 231361 = 481^2
16*14911 - 15*481 = 231361 = 481^2


-- Patrick,
qui pense qu'il doit y avoir encore plus direct,
mais qui aime bien ce problème (merci Kanut TCHIBOZO)

Salut,

OIM1996#4..
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln964.html