Un autre olympiade

bjr

ex 1:
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f(x) = 1+(x-1)/nx - rac(nième x) pour x >= 1

f'(x)= [1 -x.rac(nième x)] / nx^2 <0 pour x>= 1

f est décroissante =====> f(x) < f(1) = 0

====> 1 - (x-1)/nx < rac(nième x)
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de même pour l'autre inégalité.

complément

pour la 2ème inégalité : utiliser : rac(nième x) < x pour , x > 1

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on peut aussi élever à la puissance n , et utiliser le binôme de Newton

pour ex2:
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x=y=0-----------> f(0) = f(0)^2----------------> f(0) = 0 ou f(0) = 1

si f(0) = 0-----------> x=0 et y dans IR : f(y) = y , f est l'identité de IR

si f(0) = 1------------> x=0 et y dans IR : f(y) = 1 + y.

merci

houssa a écrit:

pour ex2:
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x=y=0-----------> f(0) = f(0)^2----------------> f(0) = 0 ou f(0) = 1

si f(0) = 0-----------> x=0 et y dans IR : f(y) = y , f est l'identité de IR

si f(0) = 1------------> x=0 et y dans IR : f(y) = 1 + y.

il faut toujours verifier que les solution verifient les conditions du debut, la deuxieme n'est pas une solution.

pour exo1:
la deuxieme côté est tres facile avec AM-GM.
la premiere côté: posez y^n=x.