exercice 1 d'olympiade may 2006

a , b et c sont des mesures des côtés d'un triangle a+b+c =1
prouver que :


a^2 + b^2 +c^2 + 4abc < 1/2

voila ce que j'a trouvé

c < a+b
a < b+c
b < c+a
donc abc < (a+b)(b+c)(c+a)
abc < 2abc + ab(a+b) + ac(a+c) +bc(b+c)
autrement abc < (1-c)(1-b)(1-a)
abc < 1-(a+b+c) +ab+bc+ac - abc
1) 2abc < ab +bc+ ac

(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2 +2ab+2ac+2bc
donc
1- 2ab -2ac - 2bc +4abc = a^2 +b^2 +c^2 + 4abc
alors il suffit de démontrer que :

1 -2ab -2ac -2bc + 4abc < 1/2
qui est équivalent à :
2ab + 2ac + 2bc > 1/2 + 4abc
et d'après 1)
2ab + 2ac + 2bc > 4abc
c insuffisant
a vous de continuer
ou donner vos mèthodes

l'exo et sa solution sont deja posté, voir ici:
https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/tres-difficile-exo-t11353.htm

salut 3abd JaLiL ! t'a oublie l'exercice qui ta donne le professeur ! scanner le et envoyer !

quel exercice ?

P.S : j'ai po de scanner

devoir de math

c < a+b
a < b+c
b < c+a
donc abc < (a+b)(b+c)(c+a)
abc < 2abc + ab(a+b) + ac(a+c) +bc(b+c)
autrement abc < (1-c)(1-b)(1-a)
abc < 1-(a+b+c) +ab+bc+ac - abc
1) 2abc < ab +bc+ ac

(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2 +2ab+2ac+2bc
donc
1- 2ab -2ac - 2bc +4abc = a^2 +b^2 +c^2 + 4abc
alors il suffit de démontrer que :

1 -2ab -2ac -2bc + 4abc < 1/2
qui est équivalent à :
2ab + 2ac + 2bc > 1/2 + 4abc
et d'après 1)
2ab + 2ac + 2bc > 4abc
c insuffisant
a vous de continuer
ou donner vos mèthodes

kasol m3a rasek