sujet baccalaurét 2006 exercice 76 page 174 moufid (Ln )

n appartient à N , 3<ou= n
On considère la fonction gn définis sur R*+
gn(x) = nx+ 2 ln(x)
1/ jadwal taghayorate de la fonction g(n)
2/ Montrer que : quelque soit x appartenant à R*+ : ln(x)< racine de x
3/ montrer que gn(x)=0 admets une seule solution a(n) dans R*+ et que 1/n <a(n) <1/racine de n
4/ Déduire lim ( n tends vers +l'infini) a(n)
Baccalauréat 2006 ( Merci d'avance pour l'aide )

salam

où est -ce que tu trouves des difficultés ??

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Salam!
voila!
http://www.4shared.com/photo/948bt7NU/Exo.html

http://www.4shared.com/photo/VFMsPfmu/exo2.html

salut,
on a pas encore fait le logarithme ,mais j'ai pas bien compris "d admet un minimum en x-4"
peux tu m'expliquer si c'est possible

on a d'(4)=0 donc d admet un minimum en x=4 ( elle decroissante sur ]0,4] et croissante sur [4;+00[

Bonsoir et AID MOUBARAK SAID ,

1) Cette question ne pose aucun problème ( j'espère).
2) Etudier le sens de variations de la fonction f définie sur lR*+ par:
f(x)= ln(x) - racine de x.
Remarquer que f admet pour maximum ln(4)- 2 et que ( ln(4) - 2 ) <0.
Déduire que pour tout x dans lR*+ , f(x) < 0 et par suite le résultat demandé.
3)* L 'étude faite en 1) permet de dire que gn est continue et strictement croissante sur lR*+. Donc gn est une bijection de lR*+ sur lR ( les limites de gn en 0+ et + l'infini sont respectivement - l'infini et + l'infini ). Or 0 appartient à lR
Donc 0 admet un unique antécédent an dans lR*+ par gn ( ce qui veut dire que gn(x)=0 admet une seule solution an dans lR*+ ).
Remarquer que an = gn^-1 (0).

*On a :gn(1/n)=1 - 2 ln(n) < 0 .
D'autre part : gn(1/racine de n) = (racine de n) - ln(n) >0 (d'après 2) ).
Donc gn(1/n) < 0 < gn (1/racine de n).
En composant à gauche par gn^-1 qui est strictement croissante sur lR , on obtient: 1/n < an < 1/racine de n.

4) Appliquer le théorème des gendarmes.

Root a écrit:

salut,
[/b]on a pas encore fait le logarithme[/b] ,mais j'ai pas bien compris "d admet un minimum en x-4"
peux tu m'expliquer si c'est possible

Si tu n'as aucune idée de ce que c'est , tu ne peux faire l'exercice ..

re , Merci énormément chers mathématiciens , sincèrement très désolée pour le dérangement , Aid Mubarak Said et merci encore pour une autre fois Merci