Autour des notions de base sur les groupes.

1) soit G un groupe fini de cardinal n. soit a £ G Mq a^n=e l'élément neutre du groupe .
2)une preuve du théorème de lagrange :
soit G un groupe fini de cardinal n soit H un sous groupe de G et de cardinal p.on cherche à Mq p divise n.
Soit a £ G.
Introduisons : aH={ax/x£H}
mq G=UaH (réunion généralisée des aH quand a parcourt G)
........a£G
en déduire, et en rédigeant bien les étapes qui doivent l'être, que p divise n .

Salut,

joli exercice qui peut se résoudre de plusieurs manières je poste ma solution demain car je suis fatigué ^^

a+

Je promets de poster ma solution demain aussi !!

callo a écrit:

1) soit G un groupe fini de cardinal n. soit a £ G Mq a^n=e l'élément neutre du groupe ......

BSR callo !!!
Si a est fixé dans G , il faut commencer par définir a^n pour n dans Z .
Si n=0 alors on pose a^0=e
Si n est entier naturel non nul , on définit par induction a^n en posant :
a^n=a.{a^(n-1)}={a^(n-1)}.a
a commute avec chacune de ses puissances .
Si (-n) est entier naturel alors on posera a^n={a'}^(-n)
ou a' est l'INVERSE dans G de a .
Celà étant , il suffit de considérer :
f : n ----------> f(n)=a^n
On vérifie que c'est un HOMOMORPHISME du groupe additif {Z;+} dans G
Son noyau Kerf est un sous-groupe de Z donc forcément de la forme
Kerf=pZ pour un certain entier naturel .
On ne peut pas avoir p=0 sinon f serait INJECTIF et de là Imf serait un sous-groupe INFINI ( car isomorphe à Z ) de G FINI ce qui serait absurde !!
donc l'entier p est >=1 d'ou a^p=e et <a> est un sous-groupe cyclique d'ordre p .

Pour l'autre , il faudra travailler avec les deux relations d'équivalence à droite et à gauche que l'on définit sur G à l'aide de H etc .....

Bien à Toi !!! Celà grelotte-t-il à Paris ???

callo a écrit:

1) soit G un groupe fini de cardinal n. soit a £ G Mq a^n=e l'élément neutre du groupe .
2)une preuve du théorème de lagrange :
soit G un groupe fini de cardinal n soit H un sous groupe de G et de cardinal p.on cherche à Mq p divise n.
Soit a £ G.
Introduisons : aH={ax/x£H}
mq G=UaH (réunion généralisée des aH quand a parcourt G)
........a£G
en déduire, et en rédigeant bien les étapes qui doivent l'être, que p divise n .

bonsoir a tous , specialement a Callo et Mr oiel de lynx

on considére la fonction g : H->aH tel que pour x€H ,g(x) = ax
remarquons que (xRy <=> il existe k€H tel que x=ky ) est une relation d'équivalence et que g est bijective => on peut partitionner G selon le cardinal de ses classes d'équivalences => Card(G) = sigma (i=1->n )card(a_iH) = sigma (i=1->n)card(H) = n*card(H)

BSR callo & Conan !!

OUI ! C'est tout à fait exact !!
On peut faire la même chose avec l'autre relation d'équivalence aussi .
Ce qui nous permet de dire :
1) Si G est abélien : on a pour tout a dans G , aH=Ha et donc on peut définir une structure de groupe quotient sur l'ensemble quotient G/Rd=G/Rg et parler du groupe-quotient G/H tout court .
2) Si G ne l'est pas mais , si comme même on a aH=Ha pour tout a dans G ( ce qui se produit lorsque H est un sous-groupe DISTINGUE de G ) alors on a la même conclusion que dans 1)

Portez-Vous Bien & A la Prochaine !!!

BOnsoir Mr lhassan et Conan ;
J'espère tout d'abord que vous êtes en bonne santé !! et que vous allez bien !!
je m'excuse d'avoir répondu tard car je n'avais pas accès au forum depuis le lycée,
pour l'exercice de a^n on peut raisonner comme suit :
considérons f : x--> ax
f est bijective donc produit des x qd x parcourt G = produit des ax quand x parcourt G,
Ainsi produit des x = a^n produit des x on simplifie, et on trouve a^n=1.
pour la démonstration du théorème de lagrange j'avais pensé à la deuxieme démonstration qui n'utilise pas de relations d'equivalence et je l'ai montrée au prof , elle est très instructive.
Bon weekend et à la prochaine