Densité des fonctions en escaliers

Soit f : [a, b] −R continue telle que pour toute fonction g : [a, b] −R en escaliers

int(f(t)g(t)dt,a,b) = 0

Demontrer que f = 0

int designe l'integrale

BJR Mahdi !!

Pour ton exo et comme le titre de ton Topic l'évoque ; on va utiliser le fait que :
1) f , fonction continue sur le compact [a;b] est une FONCTION REGLEE c'est à dire que f est LIMITE UNIFORME d'une suite {fn}n de fonctions en escalier sur [a;b] .
2) En vertu de ton hypothèse , on écrira INT{f.fn.dt ; a,b }=0
pour tout entier n puis ;
3) Par convergence uniforme , on pourra passer à la limite quand
n--->+oo pour obtenir INT{f^2.dt ; a,b }=0
4) Enfin , on utilisera le résultat classique ; f^2 étant CONTINUE POSITIVE et d'intégrale NULLE est nécessairement IDENTIQUEMENT NULLE sur [a;b]

PS : à Rabat , tu es en Prépa Privée ou au LMY ??
Allé Babay Mahdi !!!

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR Mahdi !!

Pour ton exo et comme le titre de ton Topic l'évoque ; on va utiliser le fait que :
1) f , fonction continue sur le compact [a;b] est une FONCTION REGLEE c'est à dire que f est LIMITE UNIFORME d'une suite {fn}n de fonctions en escalier sur [a;b] .
2) En vertu de ton hypothèse , on écrira INT{f.fn.dt ; a,b }=0
pour tout entier n puis ;
3) Par converge uniforme , on pourra passer à la limite quand
n--->+oo pour obtenir INT{f^2.dt ; a,b }=0
4) Enfin , on utilisera le résultat classique ; f^2 étant CONTINUE POSITIVE et d'intégrale NULLE est nécessairement IDENTIQUEMENT NULLE sur [a;b]

PS : à Rabat , tu es en Prépa Privée ou au LMY ??
Allé Babay Mahdi !!!

Bonjour

pour l'exo l'idée est bien evidemment celle de l'approximation...sinon moi je suis a MLY