Arithmétique

salut
1)on a m² ^ n²=1
par absurde on suppose que 2m²+n²=0[5] donc m²-2n²=0[5]
donc 5|3m²-n² et 5|-m²+3n² ==>5|2(m²+n²) et 5|4(n²-m²)
et selon gauss on a 5|n²-m² et 5|m²+n² donc 5|m² et 5|n² et donc 5|1 c'est la contaduction d'ou
2m²+n²#0[5]

2) et puique 2m²+n² £ N* et 5 ne divise pas 2m²+n² alors (2m²+n²) ^5 =1

3)a)posons f(x)=2x^3+x-5

f'(x)=6x²+1 >=0 f est continue et strict croissante donc elle realise une bijective
et f(1)=-2 et f(2)=13 d'apres TVI f(x)=0 admet une seule racine entre 1 et 2

b)i)soit a=m/n avec m ^ n=1 f(a)=0
2a^3+a-5=0==>2(m^3/n^3)+m/n=5==>2m^3+mn²=5n^3 donc 5|m(2m²+n²) et puisque 5 ne divise pas 2m²+n² alors selon gauss 5|m
et on 2m^3+mn²=5n^3==>m|5n^3 dapres gauss aussi m|5 alors
m=5
ii) on suupose que a est irrationnel a 1 <a<2 ==> 1<5/n<2==>5/2<n<5 ==>n£{3.4}

si n=3 alors a n'est pas une solution si
n=4 alors a n'est pas une racine
donc n£N* d'ou a n'est pas irrationel

SAUF ERREUR BIEN ENTENDU

pour 1 :
2x² est toujours {0,2,3} mod 5 et x² est toujours {0,1,4}mod 5
et puisque m^n=1 on a : 2m² est {2,3} mod 5 et n² est {1,4} mod 5(+ que seulement l un d entre eux peut etre 0 mod(5) ) et on voit clairement que la somme de ces deux la n est jamé 0 mod 5

Merci bcp les amis pour votre aide c vraiment gentil de vos part

comment peut on avoir 2m²+n²=0[5] ===> m²-2n²=0[5] ? et merci

n²=-2m²[5] donc -2n²=4m²[5] et puis m²-2n²=5m²[5]....

merci memath

je pense que t'as fait une erreur badr ds la 1 question

5|3m²-n² et 5|-m²+3n² dans ce passage
je pense que 5/ m²+3n²

salam

une idée +

1) soient r et r' les restes de la D.E.de m et n par 5.

2m² + n² = 2r² + r'² ( modulo 5)

comme m^n = 1

r = 1 ou 2 ou 3 ou 4 (mod 5) ainsi que r'

r² = 1 ou 4 (mod 5) ainsi que r'²

2r²+r'² = 1 ou 2 ou 3 ou 4 (mod 5) =====> CQFD

2) pour BADR salam
b) ii)

il fallait dire on suppose a rationnel

ensuite 1 < 5/n < 2 =====> n € {1,2,3,4}

or 2m²+n² = n^3 ====> 50=n²(n-1) non vérifiée pour les valeurs de n

donc la supposition est fausse =====> a est irrationnel.


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