question supplémentaire dans un DS : U_(n+m) >= U_n + U_m

soit (U_n) une suite à valeurs réelles strictement positive vérifiant :
U_(n+m) >= U_n + U_m qlq soient m , n dans IN

cette propriété se résume en : (U_n) est sur-additive.
Mq (U_n/n) converge vers sup {U_n/n / n£ IN* }

On montre par récurrence que la suite (U_n/n) est constante égale à U(1).
pour n=1 c'est évident.
soit p entier supérieur ou égal à un .
supposons que U(p)/p=U(1)
on a : (U(p+1))/(p+1)= [U(p) +U(1) ]/(p+1)
=[U(p)/(p+1)]+ [U(1)/(p+1)]
=[ [p/(p+1)]* [U(p)/p]] + [U(1)/(p+1)]
d'après l'hyposthèse de rec
= [[p/(p+1)]* U(1)] + [U(1)/(p+1)]
= U(1)[(p+1)/(p+1)]=U(1)
d'ou La suite est sonctante donc converge.

Excuse moi de te dire que dans l'enonce il y a un supérieur ou égal pas = ...

pfffffff . g pas vu

si non , ça serait trop beau pour êre vrai ...

BJR callo !!

Je rajouterais encore , pour methenniachref , que tu as déjà proposé cet exo d'oral ICI :

https://mathsmaroc.jeun.fr/algebre-f7/les-exercices-d-oraux-pour-les-interesses-p102387.htm

et qu'il y a eu un début de débat très pertinent à son propos !!

Bien Amicalement à Vous Tous !!