Salam
soit n de IN* on démontre facilement que
rac(2)-1/n<[n 2^(1/2)]/n<rac(2)
donc rac(2) est un majorant de A
montrons que rac(2)=sup(A)
pour celà on utilisera la caractérisation de la borne suppérieure:
soit e >0 , montrons qu'il existe n0 de IN tq rac(2)-e<[n0 2^(1/2)]/n0<rac(2)
il suffit donc de prouver qu'il existe n0 de IN* tq rac(2)-e<rac(2)-1/n0 , soit e>1/n0
un tel entier existe toujours selon la propriété d'Archimède
CLC ; rac(2)=sup(A)
d'autre part , soit n de IN* , on a [(n+1)rac(2)]+1>(n+1)rac(2) et [nrac(2)].(n+1)/n<(n+1)rac(2)
donc [(n+1)rac(2)]+1>[nrac(2)].(n+1)/n
d'où [(n+1)rac(2)]>=[nrac(2)].(n+1)/n
Ainsi [(n+1)rac(2)]/(n+1)>[nrac(2)]/n
la suite ([nrac(2)]/n) est donc croissante
donc inf(A)=[rac(2)]=1
PS: rac(2) désigne la racine carrée de 2
Aplus!!
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