Question dans les ensembles

Bonjour tout le monde,
Je me bloque dans cet exercice là,
Aidez moi par pitié =)

humoussama a écrit:

Bonjour tout le monde,
Je me bloque dans cet exercice là .

BSR humoussama !!


Si la 1ère se fait relativement facilement par Double-Inclusions d'ensembles , la seconde est plus compliquée !!
J'ai l'habitude de le faire à l'aide des Fonctions Caractéristiques d'Ensembles .....
Si A est une partie de E , on appelle Fonction Caractéristique de A , l'application notée fA
de E dans {0;1} définie par
fA(x)=1 si x est dans A et fA(x)=0 sinon .
Ainsi tu pourras vérifier sans problèmes que :
1) Si A est une partie de E alors {fA(x)}^n=fA(x) pour tout n entier naturel et tout x dans E .
2) fE=1 partout et la fonction caractéristique du VIDE est la fonction identiquement NULLE sur E .
3) {fA=fB} <=====> {A=B} a et B parties quelconques de E .
4) f( A inter B )=fA.fB A et B parties de E .
5) f(A union B)=fA+fB-f(A inter B) A, B parties de E .
6) f(E\A) = 1-fA , A partie de E .

Enfin , tu pourras démontrer aussi que pour DELTA , Opération de Différence Symétrique dans P(E) , on a :

7) f( A DELTA B )= fA+fB - 2.fA.fB

ce qui est vrai car (A DELTA B)=(A\B) union (B\A)= (A inter B*) union (B inter A*)
ou A* désigne le complémentaire de A par rapport à E .
et que les deux ensembles (A inter B*) et (B inter A*) sont DISJOINTS .

Maintenant pour démontrer l'ASSOCIATIVITE de DELTA , il te suffira juste de chercher les
Fonctions Caractéristiques des deux ensembles {(A DELTA B) DELTA C} et {A DELTA ( B DELTA C )}
et vérifier qu'elles sont égales et tu conclus d'après 3) .

Bon Courage !! LHASSANE

Bonsoir Oussama
J'ai fait une petite tentative avec la première (après avoir jeté un coup d'oeil sur le delta )
voici ma solution:


il se peut que ça soit faux mais bon , j'ai donné cette solution pour inciter les autres à participer

Désolé pour le double-poste mais je suis un peu curieux à propos de ça
à M.Lhassane: est-ce qu'on peut pas faire une double-inclusion dans la 2ème ?
Et merci d'avance

tarask a écrit:

Désolé pour le double-poste mais je suis un peu curieux à propos de ça
à M.Lhassane: est-ce qu'on peut pas faire une double-inclusion dans la 2ème ?
Et merci d'avance

BSR tarask !!

C'est sans doute faisable ! Mais c'est certainement long et inextricable .....
Je préfère utiliser les Fonctions Caractéristiques , c'est plus rapide et plus élégant surtout ....

LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

tarask a écrit:

Désolé pour le double-poste mais je suis un peu curieux à propos de ça
à M.Lhassane: est-ce qu'on peut pas faire une double-inclusion dans la 2ème ?
Et merci d'avance

BSR tarask !!

C'est sans doute faisable ! Mais c'est certainement long et inextricable .....
Je préfère utiliser les Fonctions Caractéristiques , c'est plus rapide et plus élégant surtout ....

LHASSANE

Merci pour l'éclaircissement je tacherai de jeter un coup d'oeil sur les fonctions caractéristiques qui semblent être très intéressantes

BSR tarask !!

Tu peux toujours essayer ....
Celà me parait simple .

Bison_Fûté a écrit:

J'ai l'habitude de le faire à l'aide des Fonctions Caractéristiques d'Ensembles .....

Si A est une partie de E , on appelle Fonction Caractéristique de A , l'application notée fA
de E dans {0;1} définie par
fA(x)=1 si x est dans A et fA(x)=0 sinon .
Ainsi tu pourras vérifier sans problèmes que :
1) Si A est une partie de E alors {fA(x)}^n=fA(x) pour tout n entier naturel NON NUL et tout x dans E .
2) fE=1 partout et la fonction caractéristique du VIDE est la fonction identiquement NULLE sur E .
3) {fA=fB} <=====> {A=B} a et B parties quelconques de E .
4) f( A inter B )=fA.fB A et B parties de E .
5) f(A union B)=fA+fB-f(A inter B) A, B parties de E .
6) f(E\A) = 1-fA , A partie de E .

Enfin , tu pourras démontrer aussi que pour DELTA , Opération de Différence Symétrique dans P(E) , on a :

7) f( A DELTA B )= fA+fB - 2.fA.fB

ce qui est vrai car (A DELTA B)=(A\B) union (B\A)= (A inter B*) union (B inter A*)
ou A* désigne le complémentaire de A par rapport à E .
et que les deux ensembles (A inter B*) et (B inter A*) sont DISJOINTS .

Bon Courage & Bonne Reprise des Cours !!!

Bison_Fûté a écrit:

BSR tarask !!

Tu peux toujours essayer ....
Celà me parait simple .

Bison_Fûté a écrit:

J'ai l'habitude de le faire à l'aide des Fonctions Caractéristiques d'Ensembles .....

Si A est une partie de E , on appelle Fonction Caractéristique de A , l'application notée fA
de E dans {0;1} définie par
fA(x)=1 si x est dans A et fA(x)=0 sinon .
Ainsi tu pourras vérifier sans problèmes que :
1) Si A est une partie de E alors {fA(x)}^n=fA(x) pour tout n entier naturel NON NUL et tout x dans E .
2) fE=1 partout et la fonction caractéristique du VIDE est la fonction identiquement NULLE sur E .
3) {fA=fB} <=====> {A=B} a et B parties quelconques de E .
4) f( A inter B )=fA.fB A et B parties de E .
5) f(A union B)=fA+fB-f(A inter B) A, B parties de E .
6) f(E\A) = 1-fA , A partie de E .

Enfin , tu pourras démontrer aussi que pour DELTA , Opération de Différence Symétrique dans P(E) , on a :

7) f( A DELTA B )= fA+fB - 2.fA.fB

ce qui est vrai car (A DELTA B)=(A\B) union (B\A)= (A inter B*) union (B inter A*)
ou A* désigne le complémentaire de A par rapport à E .
et que les deux ensembles (A inter B*) et (B inter A*) sont DISJOINTS .

Bon Courage & Bonne Reprise des Cours !!!

Merci
Biensur , à mon avis ce genre de choses méritent bien qu'on leur consacrent du temps même si c'est d'un niveau supérieur
C'est pas quelque chose de très difficile je présume , ils auraient dû l'enseigner en Première dans la leçon des ensembles ....
@Oussama: je te propose ce pdf d'exercices concernant les ensembles http://www.bibmath.net/exercices/bde/logique/ensembleseno.pdf je sais pas le niveau de ces exos mais je suis sûr qu'il y a quelques uns abordables

@tarask : la différence symétrique de deux ensembles n'est pas une opération vue en première SM ?

Bon après-midi
Je crois pas , elle ne fait pas partie du programme , mais pour nous , notre professeur l'a proposée dans un exercice.En fait voilà l'exercice (et pardonnez-moi si je propose celui-là dans une rubrique de sup )

on pose : A delta B=(A\B)U(B\A)
montrer que:
A delta B=(A inter Bc) U (Ac inter B)
A delta B = Ac delta Bc
(A delta B = A inter B)<=>(A=B=ensemble vide)
A delta B = (AUB)\(A inter B)
(A delta B=A delta C )=>B=C
P.S: c veut tout simplement dire le complémentaire

Merci tout le monde,
Bon, sans vraiment trop me compliquer les choses, j'ai utilisé une table de vérité.
Très pratique !