1) Si A est fini, cela découle de la définition de la finitude. A est fini si et seulement si il existe un entier n tel qu'il existe une bijection de A vers {1,2,3,..,n}.
Si A est infini, la cardinalité est à bien définir.
2) Le principe des bergers a plusieurs énoncés équivalents. On peut par exemple citer :
Soit X un ensemble fini et soit (Ai )1<=i<=m une partition de X, c’est-à-dire que chaque élément de X appartient à un des ensembles Ai et un seul. Alors, cardX = Somme des cardinaux de Ai pour i variant de 1 à m.
Il me semble que cet énoncé est assez clair : pour compter les éléments de X, il suffit de compter les éléments de chaque paquet Ai et de sommer les entiers obtenus.
3) Le principe des tiroirs, dans sa version ensembliste, énonce simplement que s'il existe une application f injective de E vers F, où E et F sont deux ensembles finis, alors card E <= card F.
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