encore complexes

Soit a et b deux nombres complexes. Montrer que:
1/

2/

1/ l'inégalité équivaut l'inégalité suivante :
2Re(a*b(barre)) =< 1+ |a*b(barre)|²
on pose a*b(barre) = z =x+iy
donc 2Re(z) =< 1 +|z|² <===> 2x =< 1+x²+y² ce qui est vrai

2/on utilise le fait que |z|²= z * z(barre)

1) (1+|a|²)(1+|b|²)=1+|a|²+|b|²+2|ab|²
=(1+|ab|²)+|a|²+|b|²+|ab|²
>=2|ab|+|a|²+|b|²+|ab|²
>=|a|²+2|ab|+|b|²=(|a|+|b|)²>=|a+b|² (Inq triang)

2) on a : |ab|²=(ab)'(ab) (z'=conjugué)

donc:

|ab|²-ab'-a'b+1=(a'b')(ab)-ab'-a'b+1=ab'(a'b-1)+(1-a'b)

=(a'b-1)(ab'-1)

=(ab'-1)'(ab'-1)=|ab'-1|²

Thnxxxx!

Voici un autre:
Soient z et t de C.Montrer que:
1/

2/


3/Soit z et t deux nombres complexes tels que:

|t|>=1 et |z|>=1 et |z+t|<1.

Montrer que:

salam

1) on procède simplement: z=x+iy et t=a+ib

/z/^2 + /t/^2 - 2R(zbar.t) = x^2 + y^2 +a^2 + b^2 - 2(ax+by)

= (a-x)^2 + (b-y)^2 >= 0

2) zt - 1 = (z-1)(t-1) +(z-1) + (t-1)

/zt-1/ =< /z-1/./t-1/ + /z-1/ + /t-1/

1 + /zt-1/ =< (1+/z-1/).(1+/t-1/)

3) z^2 + t^2 = (z+t)^2 - 2zt

on a : /z+z'/ >= / /z/ - /z'/ /

/z^2 + t^2 / >= / /z+t/^2 - 2/z/./t/ /

>= / inf(2/z//t/) - sup/z+t/ / >= /2 - 1/ >= 1

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