Problème de septembre 2006

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bonjour
solution postée
a+

bonjours
on travaille sur les intervalles ]k pi/n , (k+1) pi/n[ ou k est
une valeur dans {0,1,...,n-1} en utilisant le t.v.i :
sur ]0,pi/n[:
on a: f(0)=sum_1 ^n a_k qui a le signe de a_n vu la relation donnée
(qui affirme aussi que |a_n|>0)
et f(pi/n)=sum_1 ^n a_k cos(k pi/n)=sum_1 ^n-1 a_k cos(k pi/n) - a_n
qui a cette fois le signe opposée de a_n. le t.v.i donne l existence d au moins
un zeros de f dans ]0,pi/n[. de la meme facon on travaille sur les autres
intervalles.
a la fin f aura au moins n racines ds ]0,pi[.

abdelilah

Voici la solution de aissa
bonjour Mr Attioui
solution du problème du mois de septembre 2006.
f est continue sur [o,Pi]
on peut supposer que a_n>0 ( meme dem pour a_n<o)
du fait que a_n> sum(|a_k| de k=1 à n-1) et propriété de la valeur absolue |sum x| <= sum (|x|..) on verifie que f change de signe entre k*Pi/n et (k-1)Pi/n de k=0 à n-1 .
alors (thé des V.I) f a au moins n zéros dans [o, Pi]
aissa