pauvre matrice

salam à tous les prépas

alors vous oubliez les matrices ??!!!
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en voilà une A ( 3 lignes , 3 colonnes):

.............. (-13).....(-42)......(-12)

................(9)........(26)........(6)

...............(-9).......(-21).......(-1)

la question est de calculer : A^n pour n€ IN*

indice : on vérifie que : A^2 - 7A + 10 U = 0 ( U matice unité)


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a première vue une récurrence hardie s'impose ?! je vais la mettre sur papier et voir se que ça donne !

Merci Monsieur Houssa pour votre exercice il nous permettre de renouer le contact avec les matrices ^^

chnahoma les matrices j arrive po a comprendre l ennancé

Salut Mr houssa !!!

qu'est ce que tu veux dire pour la relation:



pour nounoua : matrice homa lmsfofat o mazal ma9ritohom je crois
et merci
_____________________________
lol

salam

c'est correct , mais on peut améliorer:

A^n = 1/3(5^n - 2^n).A + 1/3(5.2^n - 2.5^n).U

ensuite peux tu la démontrer ?


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houssa a écrit:

salam à tous les prépas

alors vous oubliez les matrices ??!!!
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en voilà une A ( 3 lignes , 3 colonnes) --------

BJR Mr houssa !!
Vous vous adressez aux Prépas mais vous postez dans le Salon des Terminales ???
J'aurais plus tard , dans la journée , des propositions à faire .
Je pense que l'exo n'est pas faisable par les Terminales .
Ils ne savent pas comment gérer la situation suivante :
<< Déterminer les suites {an}n et {bn}n de réels définies par la donnée de ao et bo et des relations de récurrence doubles du type
a(n+1)=f(an,bn) et b(n+1)=g(an,bn) pour tout entier n >>

A+ dans la Journée !!

houssa a écrit:

salam

c'est correct , mais on peut améliorer:

A^n = 1/3(5^n - 2^n).A + 1/3(5.2^n - 2.5^n).U

ensuite peux tu la démontrer ?


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Oui c'est simple a demontrer je peux demarrer de la relation qui j'ai trouvé mais où est le probleme.????

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Matrices

houssa a écrit:

salam à tous les prépas ….
la question est de calculer : A^n pour n€ IN*

indice : on vérifie que : A^2 - 7A + 10 U = 0 ( U matice unité)

BJR à Toutes et Tous !!
1) Pour les Terminales Sciences Mathématiques : l'indication de Mr houssa vous permet de conjecturer que :
On pourra écrire A^n sous la forme
A^n=an.A +bn.I pour tout entier naturel n
avec an et bn coefficients réels adéquats .
On a ao=0 et bo=1 puis a1=1 et b1=0 enfin , on pourra établir deux relations de récurrence vérifiées par les deux suites {an}n et {bn}n
On calculera A^(n+1)=A .A^n=A.{ an.A +bn.I }=an.A^2 + bn.A
=an.{7.A-10.I} + bn.A={7an+bn}.A – 10an.I
d’ou a(n+1)=7an+bn et b(n+1)=-10an
Puis plus RIEN , il vous est difficile de déterminer an et bn en fonction de n à partir de là !!
Du reste , ce n’est pas dans votre PROGRAMME .

Remarque : on peut écrire a(n+2) =7.a(n+1) -10.an pour tout n , là vous avez affaire à une suite récurrente linéaire double … que l’on peut réecrire a(n+2)-2.a(n+1)=5.{a(n+1)-2.an} et si on pose Hn=a(n+1)-2.an alors la suite {Hn}n est GEOMETRIQUE de raison 5 et de premier terme Ho=a1-2.ao=1 et on sera SAUVE …..

2) Cependant si Mr houssa donne la formule
A^n = 1/3(5^n - 2^n).A + 1/3(5.2^n - 2.5^n).I
Vous pouvez aisément la démontrer par récurrence sur n MAIS l’exo perdra de son intérêt !!!

Re BJR-BSR à Toutes et Tous !!!

Pour les prépas , ce serait un problème très classique de réduction de matrices !!
Ici , la matrice A proposée par Mr houssa est DIAGONALISABLE car elle possède TROIS racines réelles simples r1,r2 et r3 ( on en connait déjà deux à savoir 5 et 2 ; elles proviennent de l'indice car le polynôme minimal de A est
Q(A;X)=X^2-7.X+10 lequel annule A au même titre que le polynôme caractéristique ) .
On trouvera à l'aide des sous espaces propres une matrice P inversible telle que P^(-1).A.P=B diagonale , B=Diag{r1;r2;r3} puis on aura :
A^n=P.B^n.P^(-1) pour tout entier n .

un grand salam à Mr OEIL DE LYNX

1) c'est Wagshall qui a donné la solution , j'ai voulu la simplifier

2) un grand merci à vous pour l'exposé rapide trés intéressant .

3) quand j'ai posté , j'ai juste lu groupe des etudiants , j'ai pas fait attention au reste .

4) pour les etudiants du supérieur

j'ai pensé aux espaces vectoriels -IR , les suites

Un+2 = a.Un+1 + b.Un forment un sous espace des suites générales

une telle suite est parfaitement définie par la donnée de (Uo,U1)

donc de dimension 2.

on cherche s'il en existe des suites géométriques

alors on a de la chance : 5^n et 2^n

ces deux suites forment une base du sous EV-IR en question.

donc les suites (an) et (bn) dont vous parlez sont donc des combinaisons

linéaires de 5^n et 2^n .

la donnée de ao , a1 et bo , b1 les définissent complètement.


voilà ce que j'ai voulu éveiller .


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suite....

oui vous avez encore raison l'idée de : A = P'DP

D diagonale , P' inverse de P

=====> A^n = P'(D^n)P

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Oeil_de_Lynx a écrit:

.... On pourra écrire A^n sous la forme
A^n=an.A +bn.I pour tout entier naturel n
avec an et bn coefficients réels adéquats .
On a ao=0 et bo=1 puis a1=1 et b1=0 enfin , on pourra établir deux relations de récurrence vérifiées par les deux suites {an}n et {bn}n
On calculera A^(n+1)=A .A^n=A.{ an.A +bn.I }=an.A^2 + bn.A
=an.{7.A-10.I} + bn.A={7an+bn}.A – 10an.I
d’ou a(n+1)=7an+bn et b(n+1)=-10an ....

Merci Mr houssa ! on est dac !!!
Je signale une troisième voie pour les Prépas !!
Si on introduit Vn le vecteur COLONNE {an;bn} pour chaque entier n ; alors on pourra écrire V(n+1)= H.Vn
ou H est la matrice carrée 2x2
...7...1...
...-10...0...
qui est une matrice TRIANGULAIRE .
On pourra alors réduire la matrice H et procéder comme dans mon Post ci-dessus .

Bonne Soirée à Vous !!

OUI Mrs je suis d'accord aussi à vos methodes !!!

mais je crois qu'il est facile à trouver c'est grand choses et comme ces exemple des exos sont tres disponible chez les economistes (qui ont pas besoins de BCP des maths..)

c'est bien et bonne chance aussi
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houssaine