Loi de composition interne

Salut à tous

je fais un exo mais je sens comme s'il y avait un manque de données,voici l'énnoncé:

Soit T une loi de composition interne asosiative définie sur E.
soit a un élément de E.
On considère l'application f_a(x)=aTx

On suppose que T est commutative.

a)montrer que si f_a est une bijection,alors la loi T admet un élément neutre et a admet admet un symétrique a'.

j'ai pensé à calculer f_a(xTe)=aT(eTx)=(aTe)Tx=aTx=f_a(x)===>xTe=x

mes questions:est ce que je peux supposé l'existance de e pour a ? sinon on doit avoir dans l'énoncé la relation aTe=a ou bien c'est la bijectivité qui nous garantit l'existence de e ?peut on répondre à la question si f_a est surjective ?

Merci beaucoup pour les réponses

Soit g:IN--->E
:n---->a^(Tn) T étant la LCI
g étant non injective donc il existe n,p £ IN tq g(n+p)=g(n)
a^(T(n+p))=a^(Tn)
a^(Tn) T a^(Tp)=a^(Tn)

donc e=a^(Tp)

f bijective donc surjective ==> il existe a' tel que f(a')=e=aTa' et par commutativité de la LCI on conclut que a admet un symétrique a'

salam

voyons à tête reposée:

on part de fa bijective

donc fa(x) = a admet une solution unique e ( à priori dépendante de a)

montrons qu'en fait c'est non

soit x dans E , on pose : xTe=y ===> xTeTa = yTa

====> xTa=yTa ====> fa(x)=fa(y) =====> x=y

donc pour tout x € E : xTe = x

comme l'element neutre est unique =====> e indépendant de a

conclusion : T admet un élément neutre e.


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l'équation fa(x) = e admet une solution unique a'

donc : aTa' = e ====> a' est le symétrique de a.


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suite

Bien sûre j' ai tenu compte dans ma solution de la commutativité et l'associativité.

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Merci à vous

houssa a écrit:

salam

voyons à tête reposée:

on part de fa bijective

donc fa(x) = a admet une solution unique e ( à priori dépendante de a)

montrons qu'en fait c'est non

soit x dans E , on pose : xTe=y ===> xTeTa = yTa

====> xTa=yTa ====> fa(x)=fa(y) =====> x=y

donc pour tout x € E : xTe = x

comme l'element neutre est unique =====> e indépendant de a

conclusion : T admet un élément neutre e.


-------------------------------------

l'équation fa(x) = e admet une solution unique a'

donc : aTa' = e ====> a' est le symétrique de a.


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pour faire l'implication (regarde le truc en rouge) tu as deja utiliser le fait que xTe=x

salam

non pas du tout

j'aurai du détailler

xTe = y ===> (xTe)Ta = yTa ====> xT(eTa) = yTa

==> xTa =yTa ===> aTx=aTy ===> fa(x) = fa(y) ===> x=y.


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houssa a écrit:

salam

non pas du tout

j'aurai du détailler

xTe = y ===> (xTe)Ta = yTa ====> xT(eTa) = yTa

==> xTa =yTa ===> aTx=aTy ===> fa(x) = fa(y) ===> x=y.


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QUI TE DIT QUE eTa=a?

ninatop1 a écrit:

houssa a écrit:

salam

non pas du tout

j'aurai du détailler

xTe = y ===> (xTe)Ta = yTa ====> xT(eTa) = yTa

==> xTa =yTa ===> aTx=aTy ===> fa(x) = fa(y) ===> x=y.


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QUI TE DIT QUE eTa=a?

Apparemment t'as pas tout lu...

Mr.Houssa a résolu l'équation f_a(x)=a il a dit qu'elle admet une solution unique qu'il a noté e,alors aTe=a et comme T est commutative alors eTa=a
voila

A+