Arithmétique de CAPES !!

BSR à Toutes et Tous !!

Je suis tombé sur un Bouquin d'Exos ( Oraux de CAPES ) et je soumets à votre sagacité celui-ci :

Montrer que , si m et n sont des entiers , alors le nombre
N=m.n.{m^60 - n^60} est divisible par 56 786 730 .

Indication : Théorème de FERMAT.

salam

56 786 730 =61.31.13.11.7.5.3.2

fermat: p premier ===> m^p - m : divisible par p.

A = n.m(m^60 - 1) - m.n(n^60 -1) = n(m^61 - m) - m(n^61 - n)

===> A divisible par 61.

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A = (m^30 + n^30).[n.(m^31 - m) - m.(n^31 - n) ]

===> A divisible par 31

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M = n.[m^9.((m^4)^13 - m^4) + (m^13 - m)]
N = m.[.................................avec ..n.............]

A = M - N ======> A divisible par 13

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M =n.[m^6.((m^5)^11 - m^5) + (m^11 - m)]
N =m.[.........................avec .. n......................]

A = M-N =====> A divisible par 11

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M =n.[m^5((m^^7 - m^ + m^6(m^7 - m) + (m^7 - m)]
N= m.[..........................avec ...n .......................................]

A = M-N ======>A divisible par 7
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Alors ...je pense que l'idée est clair

c'est un peu fatiguant de continuer.....et on arrive à montrer que A est divisible par la liste .

comme ils sont tous premiers , A est divisible par leur produit.

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les masques jaunes cachent 8 .

salam.................

BSR Mr houssa !!
C'est tout à fait exact !! Rien à rajouter .... Merci pour votre participation !

Je connais bien le phénomène du Masque Jaune ( il suffit d'un petit espace pour l'éliminer ! )
5^( et 5^( 8 )

PS : L'exo est tiré du Livre suivant :
Exercices de MATHEMATIQUES Oral du C.A.P.E.S.
avec Rappels de Cours.
Auteurs :J.VAUTHIER & J.-J. PRAT
Editeur MASSON

Décomposons le nombre 56 786 730 en un produit de nombres premiers : 2 * 3 * 5 * 7 * 11 *13 *31 * 61.

Soit p un des 8 nombres premiers qui interviennent. Comme p intervient une seule fois, il suffit de prouver que p divise le nombre mn(m^60-n^60). Or, on constate directement que le nombre 60/(p-1) est un entier.

Si p ne divise pas m, alors le petit théorème de Fermat implique directement que m^{p-1}=1(modulo p).
Mais alors m^60=(m^{p-1})^{60/(p-1)}=1^{60/(p-1)}=1 (modulo p).

De même, si p ne divise pas n, alors n^60=1 (modulo p).

Donc m^60-n^60=1-1=0 (modulo p).

Donc p divise bien le produit mn(m^60-n^60).

BJR ephemere !!
C'est exact et méthodiquement bien fait et rédigé !!
Merci pour ton concours !!