Sn++ est un ouvert de Sn+

Comme le titre l'indique , montrer que Sn++ est un ouvert de Sn+



Rappel : Sn++ est l'ensemble des matrices symetriques definies positives
Sn+ est l'ensemble des matrices symetriques positives

salut Mahdi !!!

ben On peut utilier l'algebre 3 .... mais je crois qu'on suffit d'utiliser la topologie generale il s'agit de montrer que Sn++ est voisinnage de chacun de ses points (( les élement de Sn++)) pour cela il nous faut poser une Base des ouvert de B={ (B_i) £ Sn+ / i£I} où Sn++ C U_i{B_i} .......

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lahoucine

Bonjour ;

Sachant que :
- chaque élément de Sn+(IR) est diagonalisable dans Mn(IR) et que ses valeurs propres sont positives ,
- chaque élément de Sn++(IR) est diagonalisable dans Mn(IR) et que ses valeurs propres sont strictement positives ,

on voit qu'un élément de Sn+(IR) est dans Sn++(IR) si et seulement si son déterminant est strictement positif.

ce qui s'écrit : Sn++(IR) = Sn+(IR) n det^(-1)(IR+*)
qui est bien un ouvert de Sn+(IR) par continuité du déterminant sauf erreur bien entendu

remarque : Sn+(IR) est ici supposé muni de la topologie induite par celle de Mn(IR)
et les ouverts de Sn+(IR) sont par définition ses intersections avec ceux de Mn(IR).

elhor_abdelali a écrit:

ce qui s'écrit : Sn++(IR) = Sn+(IR) n det^(-1)(IR+*)
.

J'avoue ne pas comprendre cette formule

L'image réciproque de IR+* par l'application déterminant det : Mn(IR) ---> IR se note det^(-1)(IR+*)

et c'est un ouvert de Mn(IR) car l'application déterminant est continue

je pense qui si on remarque que S++(IR)=GLn(IR) inter S+(IR),que GLn(IR) est ouvert....on peut déduite le résulatat plus rapidement.

Oui ça marche aussi : une matrice symétrique positive et définie positive si et seulement si elle est inversible
Sn++(IR) = Sn+(IR) n det^(-1)(IR*) = Sn+(IR) n GLn(IR)