Problème Ouvert ( ..)

Assalam Alikoum !
Je viens de Découvrir ce Site Par Lhaj Google :: Et je suis vraiment fasciné par le niveau des exercices Posés Et également par la finesse des Réponses :!
Ana J'ai Un Devoir (Manzili) en ce qui concerne les suites Et j'aiurai vraiment beson d'un petit coup d Signal De vous !!
Soit (Un) et (Vn) Deux suites Définits par :
U0=-1 et V0=2
U_n+1=(Un+Vn)/2 et Vn_n+1=(Un+4Vn)/5
1-Montrer que Un <Vn ::
b-Montrer que les deux suites sont adjacentes (Mothadaiatane)
2-a-Déterminer a et b dans IR tel que les deux dsuites (tn) et (Sn)
tn=Un+bVn et Sn = Un+aVn Soient Gémoétrique ..
b-Déterminer tn et Sn en fonction de n
3-Déterminet Lim Un

VIve l7aj google

1) Par récurrence avec v(n+1) - u(n+1) = 3/10 (vn-un) (à vérifier...)
b) un croissante et vn décroissante par récurrence, facile.
(vn-un) converge vers 0 au vu de la formule écrite en 1.

2) Cherchons x de R tq un+xvn soit géométrique de raison q.
Donc u(n+1)+xv(n+1) = q(un+xvn)

En développant :
u(n+1)+xv(n+1) - q(un+xvn) = un[1/2+x/5-q] +vn[1/2+4x/5-qx]
Valable pour tout n ssi :
a) 1/2+x/5-q = 0 soit q = 1/2 + x/5
b) 1/2+4x/5-qx = 0 donc 1/2+4x/5-x(1/2+x/5) = 0

Les 2 racines de cette équation sont les a et b que tu recherches, et chacune te fournit une raison qa et qb.
Sauf erreur de calcul a = -1 et b = 5/2
tn = un + 5/2 vn géométrique de raison qa = 1
sn = un - vn géométrique de raison qb = 3/10

A ce stade, on note 2 choses :
1) pour un-vn géométrique de raison 3/10, on pouvait le deviner directement... Pourquoi?
2) Les 2 suites tn et sn sont convergentes, ce à quoi on s'attendait... Pourquoi?

b) tn = t0*qa^n = t0 = u0+5/2v0 = 4
sn = s0*qb^n = -3 * (3/10)^n

c) Si L est la limite voulue (commune pour un et vn)
Alors par passage à la limite : 4 = (1+b)L avec b = 5/2
Finalement L = 8/7
On trouve bien, d'ailleurs, que u0<L<v0

Pour les calculs, à revoir...