structures algebriques

veuillez m'aider svp, exo 45 page 252 dal moufid merci

slt tout le monde , demain je dois présenter mon DM de structures algébriques , il comprte 5 exercies dont 4 que j'ai réussi à faire difficilement , cependant , il me reste l'exo 45 moi aussi , voila je vous poste l'exo veuillez m'aider c'est pour demain !
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salut zineb !!!

quelle question????
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lahoucine

epsilon a écrit:

slt tout le monde , demain je dois présenter mon DM de structures algébriques , il comprte 5 exercies dont 4 que j'ai réussi à faire difficilement , cependant , il me reste l'exo 45 moi aussi , voila je vous poste l'exo veuillez m'aider c'est pour demain !
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BSR à Toutes et Tous !!
BSR epsilon !!

En fait la 2ème Question est FAUSSE !!!!

Dans un tel anneau A , schrodinger a montré que :
6.x=0 pour tout x dans A . Voir le Topic suivant :

https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/question-facile-sur-les-anneaux-p104927.htm

Maintenant si on considère les 2 ensembles :
A1={ x dans A ; 2.x=0 } et A2={ x dans A ; 3.x=0 }
On peut montrer que A1 et A2 sont des parties stables pour les deux lois induites par celles de A .
MAIS il n'est pas CERTAIN que l'unité 1 de A appartienne à A1 et A2 !!!!!!
Et pour t'en convaicre , prends donc l'anneau A=Z/6Z des classes résiduelles Modulo 6 . On notera n* la classe de l'entier n .
On a ICI A1={ 0*;3*} et A2={ 0*;2*}
Tu vois bien que 1* n'est ni dans A1 , ni dans A2
Par conséquent A1 et A2 ne sont pas des sous-anneaux unitaires de A .


PS : si vous avez d'autres questions , je suis bien sûr tout disponible !!

désolé mais l'élément neutre dans A1 cest 3*I dans A2 c'est 4*I veuillez vérifier

I c l'element neutre en A

schrodinger a écrit:

désolé mais l'élément neutre dans A1 cest 3*I dans A2 c'est 4*I veuillez vérifier

BSR schrodinger !! Merci bcp pour ta réponse !!
Je vois ce que tu veux dire !!
A1 et A2 sont dans l'ABSOLU des anneaux avec
3 pour unité de A1 et 4 pour unité de A2 !
C'est juste !!
Mais et c'est là l'ambiguité dans l'énoncé , A1 et A2 ne sont pas des sous-anneaux de A .
Comment faut-il comprendre l'énoncé ????
Deeply Sorry , My Arabic-Maths is very poor

j pense que si vu la stabilité + anneau unitaire (question 2 a)

schrodinger a écrit:

j pense que si vu la stabilité + anneau unitaire (question 2 a)

Je pense aussi que l'énoncé , dans la question 2 , demande de prouver que A1 et A2 munis des lois induites par celles de A sont des
ANNEAUX UNITAIRES à part entière et pas des sous-anneaux de A ; auquel cas c'est JUSTE bien entendu !!!
Je crois qu'il y a de ma part incompréhension de l'énoncé

Cet exo me parait bougrement intéressant , je reviendrais dans ce Topic et sur les autres questions en suspens !!!

salam

c'est vraiment un sujet intéressant:
voici ma réponse:

1) remarque : n € IN* , x , y dans A ; alors : n.(xy) = (nx).y = x.(ny)
(x + 1A)^3 = x+1A ======> x^3 + 3x² + 3x + 1A = x + 1A
=====> 3x² + 3x = 0A

de même (x - 1A)^3 = x - 1A ======> -3x² + 3x = 0A

la somme ====> 6x = 0A

2) facile de voir les stabilités de : + , X , distributivité de X sur + à gauche et à droite etc...
donc A1 et A2 sont des anneaux

pour l'unité :

si x € A1 ==> 2x = 0A ====> 3x = x ====> (3.1A) est l'unité de A1

et non pas 3

si x € A2 ==> 3x=0A ====> 4x = x =====> (4.1A) est l'unité de A2

et non pas 4.

----------------
A1 + A2 C A , récipr. si x € A ====> 6x = 0A ===> x = 7x

donc x = 3x + 4x = X1 + X2

2.X1 = 2(3x) = 6x = 0A ====> X1 € A1

3.X2 = 3(4x) = 2(6x)= 0A ====> X2 € A2

donc A C A1 + A2 ( double inclusion)

-----------------------------------
x € A1 , y € A2

====> 2x = 0A ====> 2x.y = 0A ====> 3xy = xy===> x(3y)= xy

====> 0A = xy

de même : 3y = 0A ===> 3y.x = 0A ===> 4yx = yx

===> (2y)(2x) = yx ====> 0A = yx
----------------------------------------------

3) x € A1 , (x-1A)^3 = x- 1A=======> -3x² + 3x = 0A

====> -x²+x= 0A ( car 2x = 0A et 2x² = 0A)

donc x² = x

----------------------------------

4) x , y € A1
====> (x + y)² = x + y =====> x² + xy + yx + y² = x + y

xy + yx = 0A or 2y = 0A ===> y = -y

donc : xy -yx = 0A ===> xy = yx =====> A1 commutatif

--------------------------
je reviendrai......

la suite ....

5)si x , y € A2 et xy = 0A , on pose Z = yx

===> Z²= yx.yx = y(xy)x = 0A =====> Z^3 = 0A =====> Z = 0A


-------------------------------------------------

6) x € A2

-(x²-1A2) - (x²-x) - (x²+x)= -x² + 1A2 -x²+x-x²-x = 1A2 - 3x²= 1A2

---------------------------------------

7) si y € A2 , 1A2.y=y

====> on pose Y1= -(x²-1A2)y , Y2 = -(x²-x)y , Y3 = -(x²+x)y

xY1 = -(x^3 - x)y= 0A.y=0A

(x+1A)Y2 = (x+1A)(-x²+x)y = (-x^3 +x² -x² + x)y=0A.y = 0A

(x-1A)Y3 = (x-1A)(-x²-x)y = (-x^3 -x²+x²+x)y = 0A.y=0A

------------------------------------

A1 est déjà démontré commutatif

pour A2 :

soient x , y € A2 ===>xy= xy1 + xy2 + xy3

remarque : d'après 7)
xy1 = 0A
(x+1A)y2 = 0A ====> xy2 = -y2
(x-1A)y3 = 0A =====> xy3 = y3

=====> xy = y3 - y2

d'autre part yx = y1.x + y2.x + y3.x

or xy1 =0A ===> y1.x = 0A
(x+1A)y2 =0A ====> y2.(x+1A)=0A ====> y2.x = -y2
(x-1A)y3 =0A =====> y3.(x-1A) = 0A===>y3.x= y3

donc yx = 0A -y2 + y3 = y3-y2

concl: xy = yx

A2 est donc commutatif


--------------BON COURAGE pour les autres exercices

c'est du boulot!!!!

.