Question facile sur les Anneaux ...

BSR à Toutes et Tous !!

Une petite question toute facile .....
Soit {A;+,x} un anneau unitaire dans lequel on a noté O l'élément neutre pour la loi + et 1 celui pour la loi x .
On suppose vérifiée la condition :
Pour tout x dans A : x^3=x .

Prouver que 6.x=O pour tout x dans A .

Rappel : Si n est un entier naturel non nul , n.x est égal à x+x+......+x
somme de n élements égaux à x .
Aisi 6.x=x+x+x+x+x+x

PS : un exemple d'anneau vérifiant la propriété ci-dessus est A=Z/6Z
et 6 s'appelle la caractéristique de l'anneau .

salut Mr Lhassane !!!

est ce qu'il y'a qlq chose dans l'enoncé qui montre que les elements de A sont dans Z???
______________________________________________________
lahoucine

mathema a écrit:

salut Mr Lhassane !!!

est ce qu'il y'a qlq chose dans l'enoncé qui montre que les elements de A sont dans Z???
______________________________________________________
lahoucine

BSR Lahoucine !!
Pas du tout !
A est un anneau quelconque à priori !!!
A la fin et en PS j'ai simplement donné ubn exemple d'anneau satisfaisant aux mêmes hypothèses que celle vérifiées par A , c'est tout !!!

C'est la 1ère Question de Exo 45 page 252 d'Al-Moufid qui cause des soucis à Zineb
et que je ne sais pas faire ....

salut Mr lhassane !!!
pensais vous au derivation c'est a dire:

x^3 = x ====> 6x=0 !!!

________________________________________
lahoucine

mathema a écrit:

salut Mr lhassane !!!
pensais vous au derivation c'est a dire:

x^3 = x ====> 6x=0 !!!

________________________________________
lahoucine

Non , Non !!
On ne travaille pas de cette manière dans les Anneaux !!
En fait il faut voir comment utiliser l'identité
x.(x-1).(x+1)=O pour tout x dans A
pour aboutir à
x+x+x+x+x+x=O pour tout x dans A !!

Oui je Sais Mr Lhassane (( j'ai pensé que A VIR)).... mais je pense pas que x(x-1)(x+1)=0_A est le cas mais je vais reflechir ....bon j'ai une reponse immediat!!! mais je suis pas disponible d'abord
je le posterai trés prochainement quand Je Re ....

_______________________________________________________________
lahoucine

voilà (x+x)^3=x+x=2x ( propriété x^3=x)
d'autre part (x+x)^3=8x^3=8x ( développement simple de binome)
d'ou 6x=o

schrodinger a écrit:

voilà (x+x)^3=x+x=2x ( propriété x^3=x)
d'autre part (x+x)^3=8x^3=8x ( développement simple de binome)
d'ou 6x=o

OUI , tu as raison !!
Bien que l'anneau A ne soit pas forcément commutatif la Formule du Binôme de NEWTON peut être utilisée pour développer
(x+y)^n à la condition que x COMMUTE avec y , ce qui est le cas ICI puisque y=x .
Merci beaucoup schrodinger !!!

Ohhhh je suis retardé un peu mais bien joué schrodinger !!!
__________________________________________________
lahoucine