Question n°11: Groupes, anneaux et corps

1) Soit x€G, il existe x' €G : xTx'=e puis il existe x'' €G : x'Tx''=e.

eTx=eTxTe=eTxTx'Tx''=eTeTx''=eTx''=xTx'Tx''=xTe=x ==> le neutre de G est e.
x'Tx=x'TxTe=x'TxTx'Tx''=x'TeTx''=x'Tx''=e ==> le symétrique de x est x'.

Donc (G,T) est un groupe.


2)
a) Soient x,x' dns A tels que : ax=ax' alors a(x-x')=0 et comme l'anneau est intègre et a non nul alors x=x'. Donc fa est injective.

b) Si A est fini, alors pour tout a non nul de A, l'application fa est bijective. Il existe alors a' dans A tel que fa(a')=aa'=1 càd a est inversible ( A commutatif). Donc A est un corps.

c) (Z,+,.) est un anneau commutatif intègre qui n'et pas un corps.

3)
a)Clair
b) On vérifie que l'application x+ay ---> x+by est bijective et que c'est un morphisme de groupe pour la loi +. Mais ce n'est pas un morphisme pour la loi x.

Question 1:
Soit T une loi de composition interne sur G, associative, telle qu'il existe un élément e de G vérifiant :

1) pour tout x de G, xTe = x
2) pour tout x de G, il existe x' dans G: x T x' = e.

Montrer que (G,T) est un groupe.


Question 2:
Soit (A,+,×) un anneau commutatif intègre.

a) Soit a un élément de A tel que a différent de 0. Montrer que l’application de A vers A, fa : x -->a × x, est injective.
b) On suppose maintenant que A est fini. Montrer que l’application fa est bijective. En déduire que A
est un corps.
c) Donner un exemple d’un anneau commutatif intègre qui ne soit pas un corps.


Question 3:

Soit I={a réel / a n'est pas un entier et a² est un entier}. Pour a dans I, on pose :

1) Montrer que, pour tout a dans I, (A(a),+,x) est un sous-corps de (IR,+,x)

2) Soient a et b dans I tels que a² et b² premiers entre eux. Montrer que l' application de A(a) vers A(b) qui à x+ay associe x+by n'est pas un isomorphisme. Réciproque?