anneaux de la formme x^n=x

soit (A,+,.) un anneau unitaire tq : quelqsoit x de A on a: x^9=x

soit C la caracteristique de l anneau A

le but c est de montrer que A est commutatif

pour ca on peut verifier que C divise 30 ie qelsoit x de A on a: 30x=0

donc trois cas a envisager : C=5 ,C=2 et C=3

.premier cas : C=5 cela entraine que qelqsoit x de A : x^5=x on peut montrer untel anneau est commutatif (la pas de problemme)

.2emme cas : C=2 cela entraine que qeqsoit x de A: x^2=x on effet calculer (x+x^2)^8 c est un anneau de boole donc commutatif

.3emme cas : C=3 ici je me bloque un peut

qelqu un a une idee. merci .

la caractiristique d un anneau etant un nombre premier . je ne voit pas quel cas a ajouter ,de plus si on acheve le 3emme cas

l anneau A est somme direct des ideaux 6A .10A et 15A qui sont de caractiristique respect 5,3 et 2
et on peut conclure

parfoit le cours donne la moitier de la réponse il faut démontrer que la loi . est comutatif sur A

eclaire moi un peut M Zouhir. moi je n arrive pas

slt , n ayant pas encore de connaissance au sujet de la caracteristique d'un anneau , si la question est , un anneau verifiant x^3=x pour tout x element de cet anneau on a aussi x^3x²=x^5=xx²=x
et tu as montré sans probleme qu'un anneau verifiant x^5=x est commutatif , donc...
desolé si ma reponse est stupide !

memath : quand on essaye de repondre ,la reponse n est jamais stupide .ce forum est cree pour se partager et ameliorer nos connaissances.

a propo de la caractiristique d un anneau A, je ponse que c est le plus petit entier n non nul verifiant: n.x=0 pout tout element x de A .

pour notre exemple n divise 30


pour le cas ou n=3 CA ne prouve pas que tout les elements de A veifier: x^3=x .mais on peu prouver qu il exite des elements a de A tq: a^3=a

si un tel element a exite alors a^2 est idempote (un element idempote commute avec chaque element de A) :


pour tout x de A on a: (x^3+x)^3=x^3+x on a aussi (x^6+x^2)^3=x^6+x^2 donc (x^6+x^2)^2=2X^4+2X^8 est idempote ie:

pout tout couple (x,y) de A^2 on : y(2X^8+2x^4)=(2X^8+2x^4)y


donc pour tout couple (x,y) de A^2 on a: yx^4=x^4y ( il sufi de remarquer que pour tout x de A x^8 est idempote)

je pensse que c est sufisant.

pour en finir:

n etant la caracteristique de l anneau A.

cas n=2 : entraine : pour tout x de A x^2=x donc (A,+,.) est commutatif.

cas n=5 : entraine : pour tout x de A x^5=x

donc pour tout x de A x^4 est idempote ie :

pout tout couple (x,y) de A^2 : x^4y=yx^4

remplacons x par x+1 entraine : (4x^3+6x^2+4x)y=y(4x^3+6x^2+4x)

remplacons x par –x : (-4x^3+6x^2-4x)y=y(-4x^3+6x^2-4x)

somme des deux egalite entraine :

pout tout couple (x,y) de A^2 : 12x^2y=2x^2y=2yx^2

de meme remplacons x par x+1 cela donne :

pout tout couple (x,y) de A^2 : 4xy=4yx ie xy=yx ( n=5)

donc A est commutatif.

pour le cas ou n=3 :
pour tout x de A on a: (x^3+x)^3=x^3+x on a aussi (x^6+x^2)^3=x^6+x^2 donc (x^6+x^2)^2=2X^4+2X^8 est idempote ie:

pout tout couple (x,y) de A^2 on : y(2X^8+2x^4)=(2X^8+2x^4)y

donc pour tout couple (x,y) de A^2 on a: yx^4=x^4y ( il sufi de remarquer que pour tout x de A x^8 est idempote)

remplacons x par x+1 on aura :

pout tout couple (x,y) de A^2 : y(x^3+x)=(x^3+x)y (I)


(x+y)^3= x^3+y^3+Q(x,y)+Q(y,x) avec Q(x,y)=y^2x+yxy+xy^2

ou encore (x+y)^3+(x+y)=( x^3+x)+(y^3+y)+Q(x,y)+Q(y,x)

dans (I) replacons x par x+y , apre simplification on a:


pout tout couple (x,y) de A^2 : y(Q(x,y)+Q(y,x))=(Q(x,y)+Q(y,x))y ;(1)

remplacons x par -x alors


pout tout couple (x,y) de A^2: y(Q(x,y) - Q(y,x))=(Q(x,y) - Q(y,x))y ;(2)


(1)+(2) implique pout tout couple (x,y) de A^2: 2yQ(x,y)=2Q(x,y)y ;apres simplification ona :


pout tout couple (x,y) de A^2: 2y^3x=2xy^3 (II)


d apres (I) et (II) on conclus:


pout tout couple (x,y) de A^2: xy=yx .

donc la aussi A est commutatif :


conclusion : LES SOUS ANNEAUX 15A ,6A ET 10A SONT DE CARACTIRISTIQUE RESPECTIF 2,5 ET 3 ET VERIFIANT : X^9=X
D APRES CE QUI PRESEDE ILS SONT TOUS COMMUTATIF
pout tout couple (X,Y) de A^2 : 15X.15Y=15Y.15X
6X.6Y=6Y .6X ET 10X.10Y=10Y.10X
COMME LE PGCD(15 ,6 ,10)=PGCD(15^2,6^2,10^2)=1
DONC IL EXISTE U ,V,W TQ : 15^2U+6^2V+10^2W=1
pout tout couple (X,Y) de A^2 : XY=1.XY=(15^2U+6^2V+10^2W)XY
=(15^2XY)U+(6^2XY)V+(10^2XY)W
=(15^2YX)U+(6^2YX)V+(10^2YX)W
=(15^2U+6^2V+10^2W)YX=1.YX=YX
DONC QUELQUE SOIT LA CARACTERISTIQUE N DE A TQ N DIVISE 30 (A,+,.) EST COMMUTATIF.

Pourquoi un element idempote commute avec chaque element de a ?

On effet :

Soit e un element idempote donc e^2=e ie e(e-1)=0

Soit x un element de A : poson Y=ex(e-1)

Y=0 car Y^2= ex(e-1). ex(e-1)=ex.0.x(e-1)=0

Donc Y+ex= ex(e-1)+ex=0+ex=ex=exe (metre ex en facture) (1)

De meme on pose Z=(e-1)xe , Z=0

Z+xe=xe=exe (2)

D apres (1) et (2) :

Pout tout x de A : xe =ex

y a t il des solutions plus courte ?!!!!