inégalité(ex 3 TST N°1 olympiade du Maroc)

Une solution vraiment barbare mais qui marche :

- on homogénéïse :

(a+b+c)^3/4 > (a+b+c)/2 * (a²+b²+c²) - 2*a*b*c

- on transforme avec Ravi : a=x+y,b=y+z,c=z+x

- on développe, ....

sauf erreur tous les termes négatifs disparaissent.

autre solution
on a
a<b+c et b<a+c et c<a+b
d'ou 2a<a+b+c =2 (de meme 2b<2 et 2c<2)
donc a<1 (b<1 , c<1)
on pose (x=1-a et y=1-b ,z=1-c ) (x+y+z=1)
on remplace a et b et c et on devellope on trouve l'inégalité demandé ( avous de jouer maintenant )

voila une methode trè efficace quand on a une inegalité avec les coté d un tiangle:
transformation de ravi : a=x+y ; b=y+z et c=z+x
l avantage de cett methode est que les reels x;y et z sont des reels positifs qulconque de R+ et ils ne sont ps liés entre eux par l inegalité triangulaire
remplacer a,b et c par ces expressions ds l inégalités et vs verrez la magie de cett methode

vous pouvez aussi utiliser la formule de heron