integrale :D

Salut à tous !!!

Pour changer le rotine des exos postés je propose de calculer une integrale qui n'est pas difficile:



D'abord il faut montrer que cet integrale existe (converge) et puis trouver sa valeure
allez bonnes maths *
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lahoucine

Bonjour

comme le denominateur est strictement positif , il n'ya pas de problemes d'existence en un point quelconque de IR , donc on peut majorer la valeur absolue de la fonction a integrer par le denominateur , ce dernier est equivalent (au voisinage de l'infini) ~~1/x^2 d'ou l'existence de l'integrale , je chercherai a la calculer le plus proche possible a+

Idée de calcul : on peut decomposer le denominateur en elements simples dans C puis utiliser une IPP ...je crois que ca peut aboutir

salut mahdi

oui la convergence je crois evident!!! même elle apparait d'aprés la forme de la fonction

Amicalement
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lahoucine

Weierstrass a écrit:

Idée de calcul : on peut decomposer le denominateur en elements simples dans C puis utiliser une IPP ...je crois que ca peut aboutir

salut Mahdi !!

je crois pas que ça donne quelques choses!! car l'integrale de cos(x)/(x-a) n'est pas evident à calculer même il tend vers une fonction speciale (Ci )(cosinus integrale)...
et merci
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lahoucine

je vais essayer de la calculer apres inchallah ,mais je pense que j'ai une solution mais il faut introduire un petit peut de la theorie de mesure (intuitivement),mais la plus simple est la plus belle

BSR à Toutes et Tous !!
BSR Lahoucine !!

Appelons A ton intégrale, après le changement de variables u=x+1, on obtient
A=INT{-oo à +oo ; Cos(u-1).du }/{u^2+4}}
Introduisons les deux intégrales définies convergentes :
I= INT{-oo à +oo ; Cos(t).dt }/{t^2+4}} et
J= INT{-oo à +oo ; Sin(t).dt }/{t^2+4}}=0
Alors , il vient que A=Cos(1).I + Sin(1).J=Cos(1).I
Or, on a aussi , I= INT{-oo à +oo ; exp(i.t).dt }/{t^2+4}}
Et cette dernière se calcule par la Méthodes des Résidus …
On intègre dans le Demi-Plan Im(z)>0 la fonction f(z)=exp(iz)/{z^2+4}en remarquant que le seul pôle d’intérêt est 2.i
Et on applique un des Lemmes de Jordan à l'Infini pour conclure que :

A={Pi.Cos(1)}/{2.exp(2)}

Pour plus de détails , vous pouvez consulter le Livre de J.DIEUDONNE
"Calcul Infinitésimal" Page 242 et suivantes …..

Allé Bonne Soirée !!

Oeil_de_Lynx a écrit:

BSR à Toutes et Tous !!
BSR Lahoucine !!

Appelons A ton intégrale, après le changement de variables u=x+1, on obtient A=INT{-oo à +oo ; Cos(u-1).du }/{u^2+4}}
Introduisons les deux intégrales définies convergentes :
I= INT{-oo à +oo ; Cos(t).dt }/{t^2+4}} et
J= INT{-oo à +oo ; Sin(t).dt }/{t^2+4}}=0
Alors , il vient que A=Cos(1).I + Sin(1).J=Cos(1).I
Or, on a aussi , I= INT{-oo à +oo ; exp(i.t).dt }/{t^2+4}}
Et cette dernière se calcule par la Méthodes des Résidus …
On intègre dans le Demi-Plan Im(z)>0 la fonction f(z)=exp(iz)/{z^2+4}en remarquant que le seul pôle d’intérêt est 2.i
Et on applique une des Lemmes de Jordan à l'Infini pour conclure que :

A={Pi.Cos(1)}/{2.exp(2)}

Pour plus de détails , vous pouvez consulter le Livre de J.DIEUDONNE
"Calcul Infinitésimal" Page 242 et suivantes …..

Allé Bonne Soirée !!

Programme de 1A école d'ingé, pas de taupe

Oeil_de_Lynx a écrit:

.....Et on applique une des Lemmes de Jordan à l'Infini pour conclure que :

A={Pi.Cos(1)}/{2.exp(2)}

....

Allé Bonne Soirée !!

Salut Mr Lhassanr !!!

OUI c'est vraie, Bravo !!

pour hamzaaa "l'integration dans C est un cours de"la variable complexe" vue en 2éme année universitaire ou bien (je crois) spé"

et ON peut utiliser aussi la "theorie de la mesure et theoreme de Lebesgue" mais aussi un peu de travail.

Donc l'integrale vaut: cos(1)Pi/(2e^2) .

PS: Mr lhassane c'est pas obligatoire de changement de variable directement on peut calculer l'integrale de e^z/(z²+2z+5) sur la demi-cercle des imaginaires positive puis on tend le rayon vers l'infini.
les trois lemmes de Jordan sont bien interressante.

et merci
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lahoucine

Mathema, je ne connais pas le programme de l'université, mais en prépa, pas de théorème des résidus ! Il m'a juste semblé intéressant de le signaler, notamment pour les taupins

On peut calculer cette intégrale en utilisant les théorèmes généraux de dérivation sous le signe intégrale

voir par exemple http://www.ilemaths.net/forum-sujet-283771.html sauf erreur bien entendu