montrer que f(a)=f(b)

Soit f une fonction continue, définie de l'intervalle [a,b] sur IR . On suppose que pour tous c et d de cet intervalle, il existe e compris entre c et d tel que f(e)=f(a) ou f(e)=f(b)

Montrer que . f(a)=f(b)

Bonjour

Soit A={x de [a,b]/ f(x)=f(a)}. A est non vide ( contient a) majoré par b. Soit c=Sup A. On a f(c)=f(a) car A est fermé ( f continue).
Si c<b, pour tout n entier tel que c+1/n<b , l'intervalle ]c,c+1/n[ contient un d_n tel que f(d_n)=f(a) ou f(d_n)=f(b).
Si f(d_n)=f(a), alors d_n dans A et d_n>c absurde, donc f(d_n)=f(b). La suite d_n converge vers c, donc f(c)=f(b).

AA+