montrer

on a x et y appartiennent l'ensemble IR** x+y=1 ;n appartien a IN
montrer que (1+1/x*n)(1+1/y*n)>=(1+2*n)*2

soufiane26 a écrit:

on a x et y appartiennent l'ensemble IR** x+y=1 ;n appartien a IN
montrer que (1+1/x*n)(1+1/y*n)>=(1+2*n)*2

Déjà posté voir:
https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/4-profs-science-math-wa7lo-fih-t6040.htm

je l'ai deja posé

Slt
x+y=1 ==> rac(xy)=<1/2 (car x+y>=2rac(xy) )
<=>xy=<1/4 => (xy)^n=<1/4^n

=>1/(xy)^n=< (2^n)² (*)
on a : 1/x^n +1/y^n >=2/rac((xy)^n) "ça se montre facilement avc une soustraction "
1/x^n +1/y^n >=2*2^n (**)
en utilisant rac(xy)=<1/2 on a :2/rac((xy)^n)=<2*2^n
donc
en additionnant (*) et (**)
on a 1/(xy)^n +1/x^n +1/y^n +1>=4^n +4^n+1
d'ou x+y=1 => (1+ 1/x^n)(1+1/y^n)> (2^n+1)^2