Equation complexe très folle

Bonjour,

Voici une équation qui m'a pris 1h30 de refléxion. J'ai trouvé une astuce, mais très rechérhcé, je la poste, pour savoir si vous avez des idées plus originales que ma solution.

J'espère mathema, que celle ci va t'en mettre plein les yeux

z^5 + z^4 - 4z^3 - 3z^2 + 3z + 1 = 0


ENJOY

salut EvaristeGalois !!!

D'abord est ce que l'equation est d'un variable complexe ou réel ??
d'aprés le titre de sujet et la forme de l'equation je vois que tu parle sur la resolution dans C!!!
il est clair que le polynome P(z)=z^5 + z^4 - 4z^3 - 3z^2 + 3z + 1 est de degré 5 scindé dans C et comme elle admet 5 racines alors:

P(h)=0 ===> h£IR et |h| < 2 .

donc c'est pas la peine de resoudre cette equation dans C et il suffit de la resoudre dans IR ce qui evite plsieurs conditions.

PS:
et comme conseil:
il faut premierement examiner la forme d'une certaine equation avant à chercher de la resoudre car la resolution directe peut diriger à UNE PERTE DE TEMPS

et merci
_______________________________________________
lahoucine

Perso, j'ai fait un changement de variable, et je tombe sur un truc très beau

Je laisse les autres chercher avant de donner ma soluce.

Bon !!

S'il n'y a pas de propositions, c'est que personne n'a trouvé !

Voici donc ma version :

On pose z=s+s^-1
On développe à l'aide du triangle de pascal.

On multiplie par s^5 puis par s-1 :

On obtient : s^11-1=0

s est la racine onzième de l'unité.


Qu'en pensez vous ?

salam

l'idée est de:

1) partir d'une équation simple

2) faire un changement de variable

3) développer

4) obtenir une équation folle (F)

5) demander aux gens de résoudre (F)

-----------

c'est vraiment génial !!!!!!!!!!!!

...............................

Bonjour Monsieur Houssa.

Je suis vraiment désolé de t'annoncer que cette équation figure dans le livre d'un copain, et que j'ai résolu, c'est le livre : Maths pour les cracks niveau TS édition Bordas, il n'est plus vendu, avec un peu de chance on peut le trouver chez le bouquiniste, il date de 1999.

En plus de cela, le changement de variable Y=x+1/x est connu, je t'invite à voir cette page, la dernière partie : http://boumbo.toonywood.org/xavier/maths/equations.pdf

Cette équation est bien difficile, qui peut être posé aux olympiades.

Cordialement, et la prochaine fois demandez moi la source de mes exercices que je poste, je n'invente rien, mis à part si je le signale.

EvaristeGalois a écrit:

.....
Voici une équation
z^5 + z^4 - 4z^3 - 3z^2 + 3z + 1 = 0 .....

BJR EvaristeGalois !!
En voyant ton équation , j'ai bien pensé aux Polynômes Symétriques que l'on reconnait grâce au test suivant :

1) X^n.P(1/X)=P(X) ou n est le degré de P(X)
ou bien :
2) Quand on écrit P(X) selon les puissances décroissantes de l'indéterminée X et que l'on écrit la suite des coefficients
an,a(n-1),a(n-2), ........ ,a2,a1,a0
On observe une symétrie
a(n-k)=ak pour tout entier k 0<=k<=E(n/2)

Mais hélàs , ton équation ne répond pas à ce test ! Donc on ne peut pas la transformer par le changement z=s+{1/s}

Il y aurait peut être une erreur dans l'équation !!! A revoir donc !

LHASSANE

En effet, il fallait oser, c'est la difficulté de cette équation !

EvaristeGalois a écrit:

Bon !!

S'il n'y a pas de propositions, c'est que personne n'a trouvé !

Voici donc ma version :

On pose z=s+s^-1
On développe à l'aide du triangle de pascal.

On multiplie par s^5 puis par s-1 :

On obtient : s^11-1=0

s est la racine onzième de l'unité.


Qu'en pensez vous ?

salut à tous !!

est ce que tu es sûr Mr EvaristeGalois de ta reponse ???

et pour le changement variable z=x + 1/x ou bien z=x - 1/x c'est methode connue par tous les supistes ou bien les etudiants car c'est un cours des polynomes.(Comme il a dis Mr LHASSANE)

z=x +1/x pour l'equation symetrique
z=x - /x pour les equations antisymetrique.

et j'ai déja dis dans mon premier poste que tous les solutions sont Réelles et non evidents compris entre -2 et 2 alors penser a une autre chose.!!!

et merci
PS: pour la resolution de cette equation ........
__________________________________________________________
lahoucine

BJR EvaristeGalois !

Je voulais te dire que ton équation n'est pas du genre SYMETRIQUE ! On n'a pas z^5.P(1/z)=P(z) donc on ne peut pas faire le changement z=s+(1/s) .
Voilà tout !!

Merci mathema pour ton interêt.

Mais franchement je ne comprend pas comment tu as déduit que toute les solutions ont un module inférieur à 2. Je ne comprend pas le terme de scindé dans C, je devine que c'est une leçon vu en supérieur.

Pour ODL : Oui ce n'est pas évident de faire ce changement de variable, mais regarde bien ma solution, ça marche évidemment très bien.

Y a t il une autre solution ? !

Salut à tous !!

D'abord pas de quoi

et je suis dsl car j'ai utilisé un terme qui est pas ça place dans ce topique des TSM, alors pour vous Mr EvaristeGalois il faut d'abord accepter que si P est une polynome de degré superieur egale à n alors l'equation P(Z)=0 (danc C) admet toujours n solutions.
et pour ton equation il est clair que son degré = 5 alors forcement elle fallait avoir 5 racines dans C et on peut remarqué par des methodes personnelles que les 5 racines sont reelles et compris entre -2 et 2.

et pour la reponse de cette equation c'est pas une reponse generale car toute polynome de degré n > 4 P(z)=0 ne peut pas resolus pas des methodes generales (et je parle pas à des polynomes a coefficients sym. ou antisym. )

et merci

PS: le domaine des equation polynomiales est un domaine compliqué et large !!!
__________________________________________________
lahoucine

Oki, donc ton encadrement de racines est personnelles, ca veut dire hors programme tsm, c'est ce que je voulais savoir !

PS: équation de degrés 7 !

salut !!!

je crois que tu m'as pas compris !!!

c'est certainement il est difficile de resoudre les equations qui ont degré >= 5 si n'ont pas biensûr des solutions evidentes!!!

alors tu peux poster ton equation de degré 7.
________________________________________________
lahoucine

mathema a écrit:

et pour ton equation il est clair que son degré = 5 alors forcement elle fallait avoir 5 racines dans C
__________________________________________________
lahoucine

C'est toi qui a mal compris ! Mon équation est de degrés 7 !!



EDIT : EXCUSEZ MOI, J'AI CONFONDU CETTE EQUATION AVEC L'AUTRE EQUATION QUE J'AI POSTE QUI EST BIEN DE DEGRES 7 ! CELLE CI EFFECTIVEMENT EST DE DEGRES 5.

salam

Desolé,"mab9it fahm walo"

where is you equation i didn't saw any equation of degré are 7 !!!
and thanks
___________________________
lahoucine

Je parle de celle là : https://mathsmaroc.jeun.fr/groupe-etudiants-du-t-s-m-f28/equation-un-peu-folle-t12805.htm


^^ je suis étourdi

salut :

"mal had l'equation", je crois quon a deja traité ce probleme non??
___________________________________
lahoucine

Oui !

Getlik s7abni rani kan hder 3la lokhra, tlefet ou safi !

OK pas de probleme et bonne chance
_______________________________
lahoucine

bonsoir

mathema a dit :

Citation :

et comme elle admet 5 racines alors:

Je ne comprends pas la raison de cette implication
je demande à mathema de m'expliquer ...
Merci

salut Mr Mohamed !!

je sais bien vos questions !!!

et je parle pas d'une façon générale mais pour le polynome proposé par EvaristeGalois !!!

et je crois que ça est clair vous pouvez verifier cela vous trouverez que les 5 racines sont reelles et compris entre -2 et 2

et je crois que l'analyse fait tt
et merci
_________________________________________
lahoucine