exercice de défi

slt
j'ai un problème avec un exercice:
démontrez que : quelque soit k de IN
5^(5k+1)+4^(5k+2)+3^(5k) est divisible par 11.
et merci d'avancejavascript:emoticonp('')

salam

N = 5^(5k+1) + 4^(5k+2) + 3^(5k)

= 5.[(5^5)]^k + 4².[(4^5)]^k + [(3^5)]^k

or 5^5 = 1 (mod 11) , 4^5 = 1 (mod 11) , 3^5 = 1 (mod 11)

=======> N = 5 + 16 + 1 (mod 11)

=> N = 0 (mod 11)..


...................................

Mr. Houssa .. Les Tronc communs n'etudient Pas de Congruences , sinon c'est Facile ..

remarque

pour les secondes on peut faciliter

5^5 = 11p + 1 =====> (11p+1)^k = 11a+1
4^5 = 11p' + 1 =====> (11p'+1)^k = 11b+1
3^5 = 11p" + 1 =====> (11p"+1)^k = 11c+1

===> N = 5(11a+1) + 16(11b+1) + 11c+1

===> N = 11(5a + 16b + c + 2)

...................................

On peut supposer qu'elle est Juste Pour k .. Puis on demontre qu'elle satisfait aussi Son successeur k+1 ( Recurrence ) ..


Donc on Montre que :
3^5(k+1) +4^[5(k+1)+2] +5^[5(k+1)+1]=3^(5k+5) +4^(5k+7) +5^(5k+6) est divisible par 11

3^(5k+5) + 4^( 5k+7 ) + 5^(5k+6)
= (3^5)*(3^5k) + (4^5)*4^(5k+2) + (5^5)*5^(5k+1)
= (243)*3^5k + (1024)*4^(5k+2) + (3125)*5^(5k+1)
= (242+1)*3^5k + (1023+1)*4^(5k+2) + (3124+1)*5^(5k+1)
= 242*3^5k + 3^5k + 1023*4^(5k+2) + 4^(5k+2) + 3124*5^(5k+1) + 5^(5k+1)

Notons A= 5^(5k+1) + 4^(5k+2) + 3^(5k)=11n .. puisqu'on a supposee qu'elle divise 11

= 11*22*3^5k + 11*93*4^(5k+2) + 11*284*5^(5k+1) + A
=11[22*3^5k+93*4^(5k+2)+284*5^(5k+1)]+11n
=11[22*3^5k+93*4^(5k+2)+284*5^(5k+1)+n] .. qui divise aussi 11 ..

MouaDoS a écrit:

On peut supposer qu'elle est Juste Pour k .. Puis on demontre qu'elle satisfait aussi Son successeur k+1 ( Recurrence ) ..


Donc on Montre que :
3^5(k+1) +4^[5(k+1)+2] +5^[5(k+1)+1]=3^(5k+5) +4^(5k+7) +5^(5k+6) est divisible par 11

3^(5k+5) + 4^( 5k+7 ) + 5^(5k+6)
= (3^5)*(3^5k) + (4^5)*4^(5k+2) + (5^5)*5^(5k+1)
= (243)*3^5k + (1024)*4^(5k+2) + (3125)*5^(5k+1)
= (242+1)*3^5k + (1023+1)*4^(5k+2) + (3124+1)*5^(5k+1)
= 242*3^5k + 3^5k + 1023*4^(5k+2) + 4^(5k+2) + 3124*5^(5k+1) + 5^(5k+1)

Notons A= 5^(5k+1) + 4^(5k+2) + 3^(5k)=11n .. puisqu'on a supposee qu'elle divise 11

= 11*22*3^5k + 11*93*4^(5k+2) + 11*284*5^(5k+1) + A
=11[22*3^5k+93*4^(5k+2)+284*5^(5k+1)]+11n
=11[22*3^5k+93*4^(5k+2)+284*5^(5k+1)+n] .. qui divise aussi 11 ..

ils n'étudient non plus la récurrence

merci bcp