exercice-olympiade!

voilà un exercice de l'olympiade que j'ai passé:
a est un réel sollution de l'équation: x²-3x+1=0
sans calculer a :
calculez (a+1/a) puis (a^3+1/a^3)
donnez les valeurs possibles de a^3
je posterai les autres exos dès que celui-là soit résolu

salam

a²-3a+1=0

a#0 ======> a -3 + 1/a = 0 =====> a + 1/a = 3

(a+1/a)^3 = 27

a^3 + 3a + 3/a + 1/a^3 = 27

a^3 + 1/a^3 + 9 = 27 =======> a^3 + 1/a^3 = 18

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(a^3)² - 18(a^3) + 1 = 0

a^3 = 9 + 4.V5 ou 9 - 4.V5

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voilà un autre exo que j'ai trouvé trop facile:
x et y deux nombres strictement positifs tels que: x²+y²=6xy et x>y
calculez: (x-y)/(x+y)

(x-y)/(x+y) = 1/2

x²+y²=6xy <=> (x+y)²-2xy=6xy <=> (x+y)²=8xy
x²+y²=6xy <=> (x-y)²+2xy=6xy <=> (x-y)²=4xy
(x-y)²/(x+y)²=4xy/8xy=1/2
(x-y)/(x+y)=V2/2

nan amjad je crois 1/V2
voici la solution:
x²+y²=6xy
ona x²+y²+2xy=6xy+2xy==> (x+y)²=8xy
x+y=2V(2xy)
ona ossi x²+y²-2xy=4xy==> (x-y)²=4xy
x-y=2Vxy
donc (x-y)/(x+y)=1/V2

moi j'ai fait:
(x-y)²=4xy ==> x-y=2Vxy (x-y est positif)
(x+y)²=8xy ==> x+y=2V2xy
x-y/x+y= V2/2
même solution samix

un autre trop facile aussi:
a et b sont des réels strictement positifs:
1) montrez que a²+1>= 2a
2) isstantij ana: (a²+1)/b + (b²+1)/a >= 4

posté plusieur fois

on a x et y deux réels strictement positifs tels que: x+y>1
montrez que: x/(1+x) + y/(1+y) >1/2

bJr
x/(1+x) + y/(1+y) >1/2
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y a plusieurs manieres pour le demontrer ...et puisqu'on vient de terminer la leçon ;"fonctions numeriques" ....alors...je vais essayer de resoudre cet exos par fonctions:
alors je considere la fonction suivante:
f(a)=a/(1+a)
on demontre que f est strictement croissante(tazayodia)sur l'intervalle [0;+∞[ :conclusion:
si a£[0;+∞[ et b£[0;+∞[
et a<b on a f(a)<f(b) alors a/(1+a)<b/(1+b)
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x et y et 1 appartiennent à l'intervalle [0;+∞[
1<x+y
et on a demontré que f est strictement croissante sur l'intervalle [0;+∞[ alors
f(1)<f(x+y)
1/(1+1)<(x+y)/(1+x+y)
1/2<x/(1+x+y) +y/(1+x+y) (A)
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x et y sont strictement positifs alors:
x+y>x d'où 1+x+y>1+x alors
1/(x+y+1)<1/(1+x)
d'où x/(x+y+1)<x/(1+x) (1)
et de la meme façon on demontrer que:
y/(x+y+1)<1/(1+y) (2)
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de (1) et (2) on a:
x/(1+x+y) +y/(1+x+y)<1/(1+x)+1/(1+y)
et de (A) on a :
1/2<x/(1+x+y) +y/(1+x+y)
alors :
1/2<1/(1+x)+1/(1+y)
voilà......

très bonne méthode majdouline au fait je l'ai résolu avec une autre manière sans foctions:
taw7id lma9amat:
x/(1+x) + y/(1+y) = (x+y+2xy)/(x+y+xy+1)
on a x+y>1 ==> x+y+2xy>1+2xy
x+y+xy+1>2+xy
donc:
x/(1+x) + y/(1+y)> (1+2xy)/(2+xy)
on compare: 2(1+2xy) et (2+xy)
2+4xy-2-xy= 3xy
comme x>0 et y>0
donc: 3xy>0
puis: 2(1+2xy)>2+xy
d'où: (1+2xy)/(2+xy)>1/2
==> x/(1+x)+y(1+y)>1/2