Olymp.Tunisie (niv . première) Avr.2009

salam

voici la toute récente olympiade 2009 (niv.première Sc. Math) Tunisie
--------------------------------------------------------------------------------
Ex1:
--------
soit la suite (Un) telle que U1 = 3 et U(n+1) = (Un)² -3.Un + 4 pour n >=1

1) Montrer que (Un) est croissante ; et que Un >= n + 2.

2) soit Vn = 1/(U1 -1) + 1/(U2 -1) + ............... + 1/(Un -1) , pour n >= 1.

Montrer que (Vn) converge vers un réel que l'on précisera.

Ex2:
-----
soit (Wn) la suite: Wo=1 et W(n+1) = Wn.(Wn +2).

Déterminer : W2009 ?

------------------------------------------ A SUIVRE..........

.

C'est Juste Non ? ..

salam MouaDos

oui mais ce que tu as fais s'appelle une conjecture (constatation)

as tu une démonstration ?

.

Ex1) U_{n+1}-U_n=(U_n-2)^2 >=0 => croissante
Par récurrence et en utilisant la formule que j'ai écrit on trouve cqfd.


Ex2/ on déduit que W_n=2^2^n -1 (comme a fait mouado avec des exemples)
par récurrence c facile de montrer cela et ainsi on choisit n = 2009 on trouve ce que mouados a trouver àla fin.

je vous donne la suite en attendant :

Ex3:
------

V(x) = racine carrée de x

soit l'équation ( E ):

V(1+x) + V(1+2x) + V(1+3x) +...............V(1+2009x) = 2009

Montrer que ( E ) admet au plus une solution positive.


Ex4:
--------

Résoudre dans IN² : y².(x-y)² = (x+y).x²


................................... A SUIVRE.............

.

Que veux dire Converge ?

pour Ex 4 : n'oubliez pas que x+y doit etre un carrée parfait => continuer
pour Ex 3: poser
f(x)=V(1+x) + V(1+2x) + V(1+3x) +...............V(1+2009x)
une fonction continue et croissante sur [-1/2009,+00[ donc elle est une bijection de [-1/2009,+00[ vers [f(-1/2009),+00[ puisque 2009 appartient à [f(-1/2009),+00[ (assurer vous de ça) donc il y a au moins un nombre de [-1/2009,+00[ tel que V(1+x) + V(1+2x) + V(1+3x) +...............V(1+2009x) = 2009.

converge c a d la limite de n--> +00 donnera un nombre qui appartient à R.la on a V_{n+1}- V_n =1/(U_{n+1}-1) >=0  (V_n croissante )et on remarque que  V_n=< sigma (1->n)1/(U_k-1)=< sigma(1->n) 1/(k+1)= n/2croissante et majorée  donc elle converge faut trouver la limte donc!!(j'ai une superbe méthode mais laissons qlqs volantaires participer!!)

n.naoufal a écrit:

converge c a d la limite de n--> +00 donnera un nombre qui appartient à R.

Merci Naoufal , Pour l'equa .. j'ai trouve Jusqu'a Mnt (0;0) , (27;9) , (24;12)

pour naoufel ex3

c'est au plus une solution positive

et non pas au moins.

.......................

pour mouados

converge = a une limite finie

.

au plus c'est qu'elle a ou elle n'a pas de solution!
moi selon la méthode faite j'ai trouvé au'elle a certainement une et elle peut avoir plus (au moins)!
donc il y a qlq chose qui cloche

n.naoufal a écrit:

converge c a d la limite de n--> +00 donnera un nombre qui appartient à R.la on a V_{n+1}- V_n =1/(U_{n+1}-1) >=0  (V_n croissante )et on remarque que  V_n=< sigma (1->n)1/(U_k-1)=< sigma(1->n) 1/(k+1)= n/2croissante et majorée  donc elle converge faut trouver la limte donc!!(j'ai une superbe méthode mais laissons qlqs volantaires participer!!)

Ce que je connais pas c'est Comment Trouver la limite , Car comme tu sais On etudient pas La limite d'une suite au Programme des premieres au Maroc .. Or Nos amis Tunisiens !

je t'ai dis au lieu de calculer la limte de x --> 00 dans une fonction t calculera la limite de n tend vers 00 dans une suite :
lim n--> 00 k^n =0 si -1<k<1.
lim n--> 00 k^n =+00 si k>=1
voila je pense que ces derniere était des plus pour les premieres!
jeme demande pk nos premieres sont mal initiés aux suites dans ce programme peut profond!!

pour ex3
------------

x=0 est une solution

par l'absurde : supposons qu'il exite une autre solution a > 0 , alors

V(1+a) +V(1+2a) + ...........+V(1+2009a) > V(1) + V(1) +..........+V(1)

====> 2009 > 2009 absurde.

de même si a < 0 =====> -1/2009 < a < 0

V(1+a)+V(1+2a)+.............+V(1+2009a) < V(1)+V(1)+..........+V(1)

====> 2009 < 2009 absurde

donc l'unique solution est 0

......................... je pense que la question est mal posée.............

.

pour ex2:
---------

W(n+1) + 1 = (Wn + 1 )²

soit la suite Tn = Wn + 1

To = 2, T1 = 2² , T2 =[(2²) ]² = 2^4 ............. Tn= 2^(2^n)

====> Wn = 2^(2^n) - 1

====> W2009 = 2^(2^2009) - 1


.....................................................

j'ajoute le dernier ex5:

a , b , c sont 3 réels > 0

x= (a+b)/c , y= (b+c)/a , z=(c+a)/b

1) vérifier que : x.y.z = x + y + z + 2

2) M est un point intérieur dans un triangle ABC

(AM) coupe (BC) en A'
(BM) coupe (AC) en B'
(CM) coupe (AB) en C'

Montrer que :

(MA.MB.MC)/(MA'.MB'.MC') = MA/MA' + MB/MB' + MC/MC' + 2



.....................................................................................

je pense que ce drnier est trivial !laissons les autres le remarqué!