concours(88) Secondes(Tunisie)

ex1:

Trouver tous les couples (a,b) € IR² tels que :

pour tout réel x , a(-1 + cos x) + b² = -1 + cos(ax+b²)

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ex2:

Soit f : IR -----------> IR , telle que f(x) = a.x² + b.x + c

On suppose :|f(-1)| =< 1 ; |f(0)| =< 1 et |f(1)| =< 1

Montrer que pour tout |x| =< 1 , on a : |f(x)| < 3/2

........................................ ( à suivre......)

.

aucun essai les secondes ?????????

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Pour 1:
on prend : g(x)=ax+b² et f(x)=cos(x)-1
a(-1 + cos x) + b² = -1 + cos(ax+b²)<==> g(f(x))=f(g(x))
pour x=0
g(0)=f(b²)
==> b²+1=cos(b²)
==>
pour x=1
g(f(1))=f(g(1))
on pose cos(1)-1=c
==>g(c)=cos(a)-1
==>ac+1=cos(a)
==>

Bonjour:
Posons: f(x)=ax²+bx+c
Il est clair que si -b/2a n'appartient pas à l'intervalle [-1,1] alors la fonction est strictement monotone donc elle atteint son min et son max
à des valeurs qui sont inférieurs ou égale à 1 et supérieurs ou égale à -1 et donc inférieurs à 3/2.
Maintenant supposons que -b/2a appartient à [-1,1] donc |b|<=2|a|.
Il est clair que: |a+b+c|<=1 |a-b+c|<=1 |c|<=1
Mais on a :
2>=|a+b+c|+|a-b+c|=|a+b+c|+|-a+b-c|>=|a+b+c-a+b-c|=2|b|==> 1>=|b|
On a :
f(-b/2a)=c-b²/4a
Donc il suffit de démontrer que |f(-b/2a)|<=3/2
<==>|c-b²/4a|<=3/2
Mais on a : |c-b²/4a|<=|c|+b²/4|a)<=1+(b²/4|a|)
Mais b²<=|b|<=2|a|
Et donc : 1+b²/4|a|<=1+(2|a|/4|a|)=3/2
Et donc |c-b²/4a|<=3/2
Et finallement: |f(-b/2a)|<=3/2
En conclusion:
Si -b/2a appartient à [-1,1] alors f(-b/2a) est soit une valeur minimal ou soit une valeur maximale.
Si elle est minimale alors f est décroissante sur [-1,-b/2a] et donc-3/2=<f(-b/2a)=< f(x)<=f(-1)<=1<3/2 .et croissante sur [-b/2a,1] et donc -3/2<=f(-b/2a)<=f(x)<=f(1)<=1 Et donc quelquesoit x dans l'intervalle [-1,1] alors |f(x)|<3/2.
Si elle est maximale on reprend la meme chose!
Si -b/2a n'apparient pas à [-1,1] alors soit elle croissant sur [-1,1] soit décroissante sur [-1,1]
Donc si elle est croissante alors -3/2<-1<=f(-1)<=f(x)<f(1)<=1<3/2
et si elle est décroissant on reprend la meme chose.
Donc finallement quelquesoit x dans [-1,1] |f(x)|<3/2.

pour perlman exo 1:

pour b = 0 , parfait , mais....

ac +1 = cos a ===> a=0 ?????

c= cos(1) -1 < 0

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utiliser x= 2pi et x= pi/2

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pour BEAUTIFUL MINd

parfait mais c'est un peu long.

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oui Mr.houssa t'as raison , j'ai oublié 1 , mais voilà une autre méthode par l'utilisation de 2pi et pi/2 :
bon si on prend x=2pi
==>cos(2pi*a)=1
==> a=k £Z (1)
pour x=pi/2

==>1-a=cos(pi/2*a)
==> |1-a|=< 1 (2)
de (1) et (2) on deduit les valeurs de a qui sont: {0,1,2}
Finalement Pour tt x£IR :
a={0,1}
j'espere que c'est juste maintenant.

pour perlman

a=k € Z , parfait

====> k(-1+cosx) = -1 + cos(kx)

x=pi/2

cos(k.pi/2) = 1 - k

k=0 , k=1 , k=2

(a,b) = (0,0) ou (1,0) ou (2,0)

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oui c'est ce que j'ai écris mais pour (2,0 ) :

2(cos(x)-1)=cos(2x)-1 ?

perlman , parfait tu as raison.

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