Un deuxième :Théorème de Liouville,Fermat pour les polynômes

Trouver les solutions (d'inconnues A,B et C dans K[X]) de l'equation suivante
A^n +B^n+C^n=0 , n>=3

Salam alikom Hamza ,

Wa Alikom salam Omar ,
les étapes démonstration sont justes , sauf une toute petite étourderie quant à la conclusion.
La conclusion est que les polynômes sont de degré nul...tq a^n+b^n+c^n=0...exemple A=i B=i C=-2^1/3 * i
...

Ce théorème de Mason est-il au programme?

Il n'est pas au programme,apparemment Omar l'a eu en Ds et Dm ;
Il y a une deuxième preuve du théorème de Liouville, une preuve directe.

je pense que l'exo est facile,j'ai trouvé une solution élémentaire on utilisant seulement la derivation,je vais l poster apres inchallah.mais pour l'utilisation d'un grand theoreme comme celui de mason franchement c'est pas favorable sur tt sans le demontrer .(amicalement)

kalm a écrit:

je pense que l'exo est facile,j'ai trouvé une solution élémentaire on utilisant seulement la derivation,je vais l poster apres inchallah.mais pour l'utilisation d'un grand theoreme comme celui de mason franchement c'est pas favorable sur tt sans le demontrer .(amicalement)

Salam alikom,
J'ai su que Hamza connaît ce théorème avant de rédiger ma solution c'est pour ça que je l'ai utilisé en attendant d'autres propositions..
Amicalement

autre solution sans utiliser le fameux théorème de MASON.

quitte à diviser par le pgcd de P,Q et R on suppose que pgcd(P,Q,R)=1.on remarque également que P,Q et R sont premiers entre ux deux à deux (pourquoi?).on se ramène donc à montrer que P,Q,R sont des polynomes constantes.
supposons que deg(P)=<deg(Q)=<deg(R).
Si P est une constante alors R^n+Q^n=produc(i=1...n)(R-n_k*Q) l'est aussi avec n_k les racines n-ioème de -1.il vient donc que R-n_k*Q sont ous constantes,ce qui montre en définitive que R et Q sont des Cstes.

mnt il reste à montrer que P est en fait constante.supposons par absurde que deg(P)>=1.

on dérive la relation (E) ==> (E') P^(n-1)*P'+R^(n-1)*R'+Q^(n-1)*Q=0.
en faisant P'*(E)-P*(E')==>Q^(n-1)*(Q'*P-Q*P')=R^(n-1)*(R*P'-R'*P)

en vertu du théorème de GAUSS il vient que R^(n-1) divise Q'*P-Q*P'.

Or Q'*P-Q*P' n'est pas nul (pourquoi?).
(n-1)deg(R)=<max(deg(Q'*P),deg(Q*P'))=deg(Q)+deg(P)+1
=<2deg(P)-1

ce qui est absurde car n>=3.
l'ensemble des solutions de E est donc les triplets (x*P,y*P,z*P) avec x,y et z des complexes vérifiant x^n+y^n+z^n=0.

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radouane.

ohhh,c'est presque la meme demarche que j'ai suivi,mais j'ai pas fait le meme debut de la solution,donc c'est pas la peine de poster la mienne,bien vu radouan .