Arithmétique.

Bonjour,

On pose E={0.1.2....25}. Soit a et b deux éléments de E.
Soit F l'application définie de E vers E par: Pour tout n de E, F(n) est le reste de la division de an+b sur 26.

1- on suppose que F(5)=10 et F(19)=14
a- montrer que 14a est congru à 4(modulo 26).
b- résoudre dans Z² : 14x-26y=4
c- déduire la valeur de (a,b).
2- On suppose que a=17 et b=3
a) montrer que si F(p)=F(n) alors n=p.
b) soit m et n de E tels que F(n)= m. déterminer n en fonction de m.
c- déduire l que F est une bijection et donner sa bijection réciproque.

Bonne fin d'après-midi.

Bon, j'ai trouvé la réponse à la 2)b) :

Spoiler:

au début je cherchais à le calculer,mais je me suis rendue compte qu'il fallait juste le déterminer!!. J'attends vos réactions !!!

salam

1)a-
5a+b = 10 (26)
19a+b = 14 (26)

===> 14a = 4 (26)

b-
14x-26y=4
7x-13y=2
solut.part. x=4 , y=2

===> x=4+ 13k ; y=2 + 7k

c-

a joue le rôle de x

===> a=4+13k , comme a € E ====> a=4 ou a=17

si a=4 =====> 20+b=10 (26) ====> 10+b=0 (26)

====>b=16 car b € E..

si a= 17 ====> 85 +b=10 (26) ===> 23+b=0 (26)

====> b=3 , car b € E

DONC (a,b) = (4,16) ou (17,3)
---------------------------------------

2) F(n)= 17n+3

F(n)=F(p) ====> 17n+3=17p+3 (26)

====> 17(n-p) = 0 (26)

comme 17^26 = 1 ====> 26 divise n-p et n , p dans E

=====> n-p=0 ===> n=p.

b-
F(n)=m <===> 17n+3=m (26) et 0=< m < 26

donc 17n = m-3 (26)
====> -9n = m-3 (26) =====> 18n= -2m+6 (26)

===> n = 9-3m (26) avec 0=< m < 26

ou encore n= 9+23m (26)

c-

on a déjà l'injection ( 2)a-)

et maintenant la surjection

====> F bijection .

sa réciproque

G : E -------> E

G(m) = reste de la division de 23m+9 par 26

c'est un peu rapide ...........sauf erreur.

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Merci Monsieur.