Arithmetique : Epreuve 2004

Bjr tt Le Monde ..



L'exo est Facile et De Niveau Premiere Bac , j'etait Impressionnee de le voir en Epreuve National de Bac ! a vos Claviers

Ps : Vous pouvez considerer cet exo comme petite Recreation ^^ avant de continuer les preparations au Regio

Salut

Peut être c'est facile,mais il ne faut pas négliger la rédaction et la rigueur,c'est ce qui devient le plus important dans ce genre d'épreuves..

A+

1-
n est impair <=> n = 2k+1 et k £ IN
<=> n² = 4k²+4k+1
<=> n²-1 = 4k(k+1)
<=> n²-1 = 8k' (k(k+1) = 2k' car c'est un nombre pair)
<=> n²-1 = 0[8]
<=> n² = 1[8]

2-
n est pair
<=> n= 2k
on a deux cas :
-> Soit k est pair : k = 2k'
<=> n² = (4k')²
<=> n² = 16k'²
<=> n² = 0[8]
-> Soit est est impair : k = 2k'+1
<=> n² = 4(2k'+1)²
Et d'après la première question :
<=> n²=4×1[8]
<=> n² = 4[8]

3-
On a a et b et c sont impairs donc :
a² = 1[8] et b² = 1[8] et c²= 1[8]
donc a²+b²+c² = 3 [8]
et d'après les deux premières questions un carré parfait a trois cas : soit n²=0[8] ou bien n²=1[8]ou bien n²=4[8]
conclusion : a²+b²+c² n'est pas un carré parfait.

4-
On utilise la solution des deux premiers + la remarque
5-
On utilise la 4
6-
On utilise ab + ac + bc = 3 [4]
Et on trouve les cas du carré parfait , on trouvera une contradiction

PX : Désolé pour les trois derniers, il faut que je bosse pour le régional, le temps c'est de l'or.

n est impaire ==> il existe un k / n=2k+1

k=0[2] ou k=1[2]

k=0[2] ==>2k=0[4] et 2k+2=0[2]

la multiplication

2k(2k+2) = 0 [8]
(n-1).(n+1) = 0[8]
n^2=1[8]


k=1[2]
2k=0[2] et 2k+2 = 0[4] (2k+2=2(k+1) et k+1=0[2] )

n^2 -1 =0[8]
n^2 = 1 [8]

conclusion

pour 2)

on suppose qu'il existe n : a^2 +b^2 +c^2 = n^2

a,b et c sont impaires
a^2 +b^2 +c^2 = (2k1 +1)^2 + (2k2 +1)^2 +(2k3 +1)^2

= 4(sigma k^2 + sigma k ) + 3

donc

n^2 = 3 [4]
(2k+1)^2 = 3 [4]

4(k^2 +k) = 2 [4]

contradiction

car 4(k^2 + k) = 0 [4]

salam

pour la suite
2) b-

a=2p+1 , b=2n+1 , c=2m+1

2ab= 8pn+4(p+n) +2
2bc= 8mn+4(m+n)+2
2ac= 8pm +4(p+m)+2
--------------------------
2(ab+bc+ac)=8(pn+mn+pm+p+n+m) +6

N = 2(ab+bc+ac) = 6 [8] =======> N # 0,1,4 [8]

===> N n'est pas un carré.

A= ab+bc+ac est impair

si A est un carré ===> A=1 [8]====> N= 2A = 2 [8] absurde.

====> A n'est pas un carré.


.

Je pense qu avc n impair on trouve q
n²=1[8]
n²=3[8]
n²=5[8]
n²=7[8]
donc n²=1[8]

aussi le cas pr n pair