- ali-mes a écrit:
- Soit f une fonction définie sur
tel que:
f(1)=1 et f(2)=2 et f(3)=3 et =\frac{f(n-1)+f(n-2)+1}{f(n-3)}\;%20(\forall%20n\geq%204))
.
Calculer f(2004).
Je ne donne pas qu'une réponse, hasardeuse, qui peut être fausse:
On cherche à démontrer que la fonction f est périodique:
On a d'abord les résultats suivants:
=1)
,
=2)
et
=3)
. On continue:
-
=\frac{f(3)+f(2)+1}{f(1)}=\frac{3+2+1}{1}=\frac{6}{1}=6)
.
-
=\frac{f(4)+f(3)+1}{f(2)}=\frac{6+3+1}{2}=\frac{10}{2}=5)
.
-
=\frac{f(5)+f(4)+1}{f(3)}=\frac{5+6+1}{3}=\frac{12}{3}=4)
.
-
=\frac{f(6)+f(5)+1}{f(4)}=\frac{4+5+1}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3})
.
-
=\frac{f(7)+f(6)+1}{f(5)}=\frac{\frac{5}{3}+4+1}{5}=\frac{5+12+3}{15}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3})
.
-
=\frac{f(8 )+f(7)+1}{f(6)}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{5}{3}+1}{4}=\frac{4+5+3}{12}=\frac{12}{12}=1)
.
Ce qui donne
=f(1))
.
On peut donc conjecturer que f est 8-périodique.
Je ne peux pas démontrer ce fait, car le calcul sera houleux dès
)
.
Je peux affirmer, sans démonstration, que
=f(4)=6)
.
Et je serai intéressé par une démonstration.
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