j'ai trouvé une solution pour cet exo mais j'ai transformé l'exo topologique a un exo de geometrie qu'elle a vraiment compliqué la faire mais j'essayerais de trouver une solution plus (mtrr9a).(R² et C sont les meme topologiquement )
soient h(z)=(az+b)(cz+d) une homographie et D le disque unité.
h(D)=D <=> [OM=1 <=> BM=<kAM=A'M](*) avec B(-b/a) et B(-d/c) et M(z) et k=lc/al
(*)=> A' et B ne peuvent etre au meme temps dans D (un peut d'imagination)
donc laissons B se balader dans le plan et soit A' ailleur le disque.
(*)=(delta)la mediatrice de [A'B] est tangente a Fr(D) (frontiere de D) car si non on peut trouver M telque BMA'M (M doit etre dans le demi plan contenant B pour avoir (*) )
donc on traduit tt ca en equations .
on a (A'B)y=Px+Q avec P=(kIm(d/c)-Im(b/a))(kRe(d/c)-Re(b/a)) et Q=Re(b/a)P-Im(b/a)
donc (delta)y=-xA-Im(b/a+d/c)2-Re(b/a+d/c)/2A
et M£(delta)interFr(D) = x²+(-x/A+B')²=1 admet une solution unique.avec B'=-Im(b/a+d/c)2-Re(b/a+d/c)/2A
donc B'²/A²=(1+1/A²)(B'²-1) (delta=0)
d'ou les homographie qui conserve le disque unité sont tel que
B'²A²=(1+1A²)(B'²-1) (j'espere que c'est correcte).
pour bien voir ces resultat il faut faire des figure geo.
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