Le problème des cailloux

On dispose de 2n+1 cailloux. On suppose que chaque sous-ensemble de 2n cailloux peut se partager en deux tas de cailloux de même masse totale. Montrer que tous les cailloux ont la même masse.

récurrence???

salam

par l'absurde

supposons qu'il existe deux cailloux de masses différentes : a et b

=====> il y a : n cailloux (a) et n cailloux (b)

il reste alors un cailloux (c)

soit la partie : { n(a) , (n-1) (b) , (c) } =====> b=c

soit la partie : { (n-1) (a) ; n(b) ; (c) } ====> a=c

donc a=b ----------> ABSURDE.

.

bonsoir monsieur houssa,il me semble que votre raisonnement est faux(je n'y ai pas trop pensé par conséquent il se peut qu'une erreur erre dans mon argumentation).D'une part c'est faux parce qu'on ne peut pas déclarer qu'il y a n cailloux (a) et n cailloux (b) et un (c) du moment que la sacoche peut contenir d'autres masselottes ((d),(beta)...) d'autre part, lorsque vous avez choisi la partie à 2n éléments (la 1ère for exemple) rien ne dit que votre partage en deux est unique (l'énoncé affirme qu'il existe effectivement un partage mais n'indique pas de méthode)

Bonsoir a tous,
Bonsoir Hamza ,
c'est plutôt intuitive (A 3adi ana) XD, Si je dispose de 2n+1 cailloux et qu'on suppose que chaque sous espace comptant 2n cailloux et que ce dernier peut ce décomposer en deux tas de cailloux de même masse totale alors chaque cailloux a son équivalons dans un l'autre tas c'est une forme de bijection entre les deux tas , ma question est :"est ce que les deux tas son partager
de façon aléatoire mais de tel façon a ce que les deux tas aient la même masse totale ?" car si c'est la cas la réponse est déviante mais sa formulation est très délicate mathématiquement parlant ...

y a-t-il des remarques sur ce qu'a fait houssa ou bien des réactions sur ce que j'ai posté?

salam

oui j'ai fait une erreur de raisonnement

j'ai pas fait attention dans la lecture j'ai sauté le mot masse totale

donc tout est fichu.

DSL
.........................

houssa a écrit:

salam

oui j'ai fait une erreur de raisonnement

j'ai pas fait attention dans la lecture j'ai sauté le mot masse totale

donc tout est fichu.

DSL
.........................

slm
et si vs remplacez n(a) et n(b) ds votre raisonnement par une suite ai et bj respectivt en posant par exemple a1=a et b1=b et c=a1 et puis c=b1respctvt par la suite?

j'ai prouvé que : sigma(j=1,2n+1) (sigma (i€I_j) mi = M*n

avec M la masse totale , mi la masse de l'élément i et les I_j sont des parties de [l1,2n+1] avec 1=< card(I_j) =< 2n

avec sigma (i€I_j) mi = (M-mj)/2j
e pense qu'on devrais poser une indication

Pour n=2 donnons à un cailloux la masse 3 et aux quatres restants la masse 1

il me semble que chaque partie à quatres cailloux se partage en deux tas de même masse

et pourtant les cinq cailloux n'ont pas la même masse ! sauf erreur de ma part bien entendu

Il faudrait peut-être réctifier l'énoncé comme suit :

Citation :

On dispose de 2n+1 cailloux.
On suppose que chaque sous-ensemble de 2n cailloux peut se partager en deux tas de n cailloux chacun et de même masse totale.
Montrer que tous les cailloux ont la même masse.

sauf erreur bien entendu

elhor_abdelali a écrit:

Il faudrait peut-être réctifier l'énoncé comme suit :

Citation :

On dispose de 2n+1 cailloux.
On suppose que chaque sous-ensemble de 2n cailloux peut se partager en deux tas de n cailloux chacun et de même masse totale.
Montrer que tous les cailloux ont la même masse.

sauf erreur bien entendu

je pense que si c'est le cas , l'exercise va devenir trés facile , je pense qu'il y a une autre condition

autre chose , je ne sais pas ce qu'il veux dire exactement par un tas de cailloux , est ce que ça voudrait dire 2cailloux ou plus

Peux tu rédiger une démo conan ?

elhor_abdelali a écrit:

Peux tu rédiger une démo conan ?

si vous le dites pk pas (pour me racheter ) , (je retire quand méme ce que j'ai dis hier sur la facilité du probléme , c'était minuit + je pensais que ça sera facile de le faire avec un tel ennoncé + une autre faute de mon raisonnement que j'ai remarqué tout à l'heure au cour de Français , mais il s'avére que çela devient intéressant)

bon à moi : *on note mi le poid des cailloux a_i , donc si on enléve un élement a_k , on aura un ensemble A_k avec card(A_k) = n et sigma (i€A_kUA°_k) ei*mi = 0

avec ei = 0 si i=k et ei = 1 si i€A et ei=-1 si i€A°

avec ces notations on est tenté de considérer une matrice S= (mij) de taille 2n+1*2n+1 avec mij = (+-) 1 , tel que , pour tout k€[1,2n+1] , mkj = 1 si le cailloux aj € A_k et -1 si aj €A°_k , et 0 s'il est l'élement enlevé ce qu'on va remplacer par mjj = 0

et soit X=(mi) avec i€[1,2n+1] le vecteur colones de M_2n+1,1 des poids des cailloux.

on a d'aprés les diffinitions S*X = 0 et évidemment S*(1) = 0 avec (1) la matrice colone de M_2n+1,1 des 1

et la notre probléme se résume à montrer que , dim(ker(S)) = 1 , ce qui est un autre probléme ou j'ai commencé à nager

*voila , on a donc une matrice S de taille 2n+1*2n+1 avec que des 1 où -1 et des 0 en diagonale , et tel que pour tout j€[1,2n+1] sigma(i=1,2n+1) aij = 0 , Montrons que dim(ker(S)) = 1 :

on remarque facilement en faisant l'opération L1 <- L1+sigma(i=2,2n+1) Ci que L1 devient nulle soit dim(ker(S)) >= 1 , donc aprés une longue reflexion on voit qu'il suffit de montrer qu'au moins un cofacteur ou bien , un mineur est inversible , soit de detérminant # 0 , et là une autre idée super sympa c'est de dire que ça revient à dire que le det(Mineur = M) est impair

or Det(M) = sigma e(s) produit (j=1,n) a_(i,s(i)) et puisqu'on s'interesse tjrs à la parité ça revient à compter le nombre de dérangement d_(2n+1)

or on (sait) que : d_n = nd_(n-1) + (-1)^n soit d_(2n) = 2n*d_n +1

je veux aussi signaler qu'une autre maniére de voir cela sont passer par les déranegment car franchement ça dérange , il suffit de remarquer que la parité du mineur est la méme que celle d'une matrice R
de taille 2n*2n où il y a que des 1 et des 0 par diagonales , et ben avec des simples manipulation on aura Det(R) = 1-2n

j'espére que je me suis pas gourré qq part