problème N°49 de la semaine (02/10/2006-08/10/2006)

salut
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amateursmaths@yahoo.fr

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Merci

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki
Bonjour,
a²=p(a+b) ==> p divise a² ==> p divise a ==> a divise b
De même b divise c et c divise a ==> a=b=c
A+

Bonjour!
Solution postée.
voici la solution de kendor
Tout entier premier est premier avec tout entier qu'il ne divise pas.
Si p=a^2/(a+b) est premier,alors p est premier avec a ou p divise a.

1/Si p est premier avec a,alors,a divisant a^2=p(a+b),a divise a+b (théorème de Gauss)
Donc a divise b.

2/Si p divise a,a=np
Alors p=(np)^2/(np+b)
Alors np+b=pn^2
Donc b=np(n-1)=a(n-1),avec n<>1 car b<>0
Donc a divise b.

Donc p=a^2/(a+b) premier entraîne que a divise b.

On procède de même pour q=b^2/(b+c) premier et on obtient que b divise c.
Idem pour r=c^2/(c+a) premier,qui entraîne que c divise a.

Ainsi a divise b,qui divise c,qui divise a.
Donc b=ax,c=by=axy,a=cz=axyz,avec x,y,z entiers naturels.
D'où xyz=1.
Comme x,y et z sont positifs,on a x=y=z=1.
Donc a=b=c.
CQFD.

Kendor

Bonjour

Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

Pour ce problème posons: p;q et r respectivement les trois entiers premiers.
On a: a²= p (a+b) (1)
b²= q(b+c) (2)
c²= r (a+c) (3)

(**)D'après (1): a / p(a+b)
(*) Si a /\ p =1 alors a / a+b donc a / b
(*)Si p / a alors a = p d (d in N)
(1) ==> p( d² -d) =b
==> p / b
==> b = pk (k dans N)
==> d²-d = k
==> d /k
==> a / b
(**) On fait de même pour (2) et (3) : on déduit alors que:
a / b et b / c et c/ a
D'oû : a = b = c

sauf erreurs bien sur...

solution postée
voici la solution de aissa
salut tout le monde.
a , b,c des entiers naturels (1) a²/(a+b)=k premier montrons que : a/b.
soit d= a^b = pgcd(a,b). il existe u ev premiers eutre eux ; u^v=1 a=du et b = dv.
alors (1)<=> du²/(u+v)=k ie du²=k(u+v) alors u²/k (car u^(u+v)=1) ,or k premier donc u²=1 donc u=1
alors a=d donc a/b.
de la meme manière on demontre que b/c et que c/ a donc a=b=c (car a b et c sont dans IN)
C/C a b c dans IN : si a²/(a+b), b²/ (b+c) et c²/(c+a ) sont tous premiers alors a=b=c. CQFD.
aissa

Bonjour
Très bien vu Abdalbaki..