point fixe commun. ( extension)

Soit f et g deux applications continues de I=[0,1] dans I. On suppose que fog=gof.
i) Montrer qu'il existe un x appartenant à I tel que f(x)=g(x ).
ii) On suppose que f est croissante sur I ; montrer que f et g ont un point fixe commun.
iii) On suppose que f est affine,c-à-d,f(x)=ax+b,(a et b deux constantes dans IR) ;montrer que f et g ont point fixe commun
iv) On suppose que f est contractante; montrer que l'ensemble des points fixes de f est convexe; en deduire que f et g admettent un point fixe commun.

supposons que pour tout x de [0;1] f(x)#g(x) (avec le TVI)

=>

(quelque soit x de [0;1]) f(x)>g(x) ou (quelque soit x de [0;1]) f(x)<g(x)

on prend la fonction h(x) = f(x)-g(x) (quelque soit x de [0;1]) h(x) > 0 ou (quelque soit x de [0;1]) h(x) < 0

h est continue sur [0;1] donc elle admet une valeur minimale m et une valeur maximale M sur [0;1]

<=>
(quelque soit x de [0;1]) h(x) >= m ou (quelque soit x de [0;1]) h(x) =<M

<=> (quelque soit x de [0;1]) f(x)-g(x) >= m *
ou (quelque soit x de [0;1]) f(x) - g(x) =< M **

j'etudie le cas (*) pour le cas (**) c'est une symetrie.

(*) par une simple reccurence on trouve que :

(quelque soit n de N*) (quelque soit x de [0;1]) f[n](x) >= g[n](x)+nm

et on a f[n] et g[n] sont aussi continues sur [0;1] puisque f et g sont continues sur [0;1] vers [0;1].

donc (quelque soit x de [0;1]) -1 =< f[n](x) - g[n](x) =< 1

et on a
(quelque soit n de N*) (quelque soit x de [0;1]) f[n](x) - g[n](x) >= nm

et lim nm = +00 donc lim f[n](x) - g[n](x) = +00
n->+00 n->+00

contradiction
avec le fait que (quelque soit x de [0;1]) -1 =< f[n](x) - g[n](x) =< 1

=> (il existe c de [0;1]) f(c) = g(c)


Ps : solution que j'ai faite dans le jeu d'hiver TSM