Continuité help urgent

- Soit une fonction f : [a, b] --> R continue,
- α et β des reels strictement positifs.
- Montrer qu’il existe c £ [a, b] tel que αf(a) + βf(b) = ( β +α )f(c).

yassineno a écrit:

- Soit une fonction f : [a, b] --> R continue,
- α et β des reels strictement positifs.
- Montrer qu’il existe c £ [a, b] tel que αf(a) + βf(b) = ( β +α )f(c).

BJR !!

A mon avis , tu vas montrer que le réel T={αf(a) + βf(b)}/{ β +α }
est compris entre f(a) et f(b) en vérifiant que
{T-f(a)}.{f(b)-T} est de signe POSITIF
puis tu appliques le TVI à f sur [a;b] et tu auras la conclusion demandée !!!!

LHASSANE

merci je vé essayer votre suggestion .

s'il vous plait pouvez vous un peu me detallier la reponce plz!!

Salut !!
Ton alpha c'est s
et ton bêta c'est t chez moi : OK !!
On va montrer que le réel T={sf(a)+tf(b)}/{s +t}
est compris entre f(a) et f(b) en vérifiant que
{T-f(a)}.{f(b)-T} est de signe POSITIF ( rectification )
En effet :
T-f(a)={sf(a)+tf(b) - (s+t).f(a)}/{s+t}={t/(s+t)}.{f(b)-f(a)}
De même:
T-f(b)={sf(a)+tf(b) - (s+t).f(b)}/{s+t}={s/(s+t)}.{f(a)-f(b)}
Et par conséquent :
{T-f(a)}.{f(b)-T}={st/(s+t)}.{f(b)-f(a)}^2
est STRICTEMENT POSITIF
d'ou T est COMPRIS entre f(a) et f(b) .

Comme f est CONTINUE sur [a;b] elle possède la Propriété de la Valeur Intermédiaire
elle prend toute valeur comprise entre f(a) et f'b) et en particulier , il existera c dans [a;b] tel que T=f(c) .

LHASSANE

merci bcp welah

Salut

Il y a une autre méthode,essaye de relier avec le barycentre.

sami a écrit:

Salut

Il y a une autre méthode,essaye de relier avec le barycentre.

BJR sami !!
C'est CLAIR sami que sur la DROITE REELLE , T est le BARYCENTRE des deux points pondérés
{f(a) ; s/{s+t}} et {f(b) ; t/'s+t}} les POIDS s/(s+t) et t/(s+t) étant POSITIFS STRICTS et de SOMME égale à 1
donc T est dans le segment d'extrêmités f(a) et f(b) !!
C'est pareil ..........

LHASSANE

jolie réponse celle du barycentre mais je crois que TVI est plus approprié à ce genre d'exos, car c'est juste une coïncidence le fait qu'on ait la formule exacte du barycentre dans cet exo

Salut

Dans les maths,il n y a pas de coïncidence,et même si c'en est une,elle n'est pas trop remarquable par n'importe qui

Salut Mr.Lahssane

A+